f(xk?f(xk))?f(xk)?f'(xk)f(xk)?xk?1?x*?xk?x*?f(xk)f'(xk)?1212f''(?)f(xk)2
由于x*是f(x)?0的单根,故
f''(?)f(xk)
f(x)?(x?x*)h(x),h(x*)?0 所以
f'(xk)?h(xk)?(xk?x*)h'(xk)xk?1?x*?xk?x*?(xk?x*)h(xk)h(xk)?(xk?x*)h'(xk)?12f''(?)f(xk)?????h(xk)(xk?x*)?1???1?h(xk)?(xk?x*)h'(xk)?f''(?)f(xk)??2?1??h'(xk)?f''(?)h(xk)??2??1??h(xk)?(xk?x*)h'(xk)?f''(?)h(xk)??2??
(xk?x*)2
故
h'(x*)??1h(x*)f''(x*)2h(x*)limxk?1?x*(xk?x*)2
k??
即迭代法是二阶收敛的.
四、学习效果测试题及答案
1、证明方程e?10x?2?0在(0,1)内有一个实根x*,并用二分法求这个根.若要求
x|xn?x*|?10?6,需二分区间[0,1]多少次?
?3(答案:当
|xn?x*|?10时
x*?x9?0.090820313对分次数k?1?20.)
2xx??(xk)x?[a,b]2、对方程3x?e?0,确定[a,b]及?(x),使k?1对任意0均收敛,并求出方
程的各个根,误差不超过10. (答
?4
[a,b]?[?1,0],?(x)??13xe2,x*??0.458962267案:(1)
[a,b]?[1,0],?(x)?13x2;(2)
e,x*?0.910007572;(3)
2[a,b]?[3,4],?(x)?ln(3x),x*?3.733079028)
3、建立一个迭代公式计算2?(答案:
xk?1?2?2?...,分析迭代的收敛性,取x0?0,计算x6.
2?xk,k?0,1,2,...,x6?1.999397637.)
4、试分别采用
?1(x)?2?lnx|和
?2(x)?e|?10?8x?2的斯蒂芬森迭代法求方程x?lnx?2在区间
xk?xk?1xk(2,??)内的根x*,要求
.
和
x5?3.146193262(答案:取
x0?3,其解分别为
42x4?3.146193220.)
5、由方程f(x)?x?4x?4?0求二重根x*?|x?xk|?10(7.15),(7.16)计算x*,要求k?1?82,试用牛顿法(7.13),有重根时的牛顿法
.
(答案:三种方法均取
x0?1.5,分别得
)
?6x24?1.414213568,x3?1.414213562,x3?1.414213562.32f(x)?x?2x?10x?20?0的根,要求|xk?1?xk|?10Leonardo6、用弦切法求方程
.
(答案:取
x0?1,x2?2,用式(7.17)得
3x5?1.368808108x0?2.)
|xk?1?xk|?10?67、用抛物线法求解方程x?3x?1?0在(答案:取
附近的根,要求
)
.
x0?1,x2?2,x3?2.5,x*?x6?1.879385242.xx8、试构造一个求方程e?x?2根的收敛的迭代格式,要求说明收敛理由,并求根的近似值k,|xk?xk?1|?12?10?3使.
xk?1??(xk)?ln(2?xk)(答案:有根区间[0,1],不动点迭代式
x0?0.5,x*?x14?0.442671724,取
x*?x3?0.442854401..另外,也可用牛顿迭代法求解得)
9、试确定常数p,q,r,使迭代公式
a25xk?1?pxk?q
xk
3产生的序列收敛到a,并使其收敛阶尽可能高.
p?q?59,r??139,且?'''(a)?0,此时迭代法三阶收敛.)
(答案:利用定理7.4可得
10、?(x)?x?p(x)f(x)?q(x)f(x),试确定函数p(x)和q(x),使求解f(x)?0且以?(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛.
p(x)?1f'(x),q(x)?1f''(x)32(答案:利用定理(7.4)可得 五、课后习题全解
2[f'(x)].)
1、用二分法求方程x?x?1?0的正根,要求误差小于0.05.
解 设f(x)?x?x?1,f(1)??1?0,f(2)?1?0,故[1,2]为f(x)的有根区间.又
0?x?12时,f(x)单增,当
x?12时f(x)单增.而
22f'(x)?2x?1,故当
15f()??,f(0)??124,由单调性知f(x)?0的惟一正根x*?(1,2).根据二分法的误差估
1?0.05计式(7.2)知要求误差小于0.05,只需2k?1,解得k?1?5.322,故至少应二分6次.具体
计算结果见表7-7.
表7-7 k ak bk xk f(xk)的符号 0 1 2 3 4 5 - 即
1 1.5 1.5 1.5 1.5625 1.59375 2 2 1.75 1.625 1.625 1.625 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.59375 1.609375 - + + - - - x*?x5?1.609375.
32x?1.52、为求x?x?1?0在0附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应
的迭代公式:
x?1?1x,迭代公式
2xk?1?1?1xk2(1);
1232xk?1?(1?xk)3x?1?x(2),迭代公式;
x?21x?1,迭代公式
xk?1?1xk?1(3). 试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根. 解 取
x0?1.5的邻域[1.3,1.6]来考察.
?(x)?1?1x2(1)当x?[1.3,1.6]时,
xk?1?1?1xk2?[1.3,1.6],|?'(x)|?|?2x3|?21.33?L?1,故迭代公式
在[1.3,1.6]上整体收敛.
(2)当x?[1.3,1.6]时
?(x)?(1?x)|?'(x)|?23121/3?[1.3,1.6]2|x(1?x)32|?231.62?L?0.522?1 故
xk?1?(1?xk)32(1?1.3)32
在[1.3,1.6]上整体收敛.
?12(x?1)3/2?(x)?1x?1,|?'(x)|?||?12(1.6?1)?1xk?1?1xk?1(3)故发散.
由于(2)的L叫小,故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需 即
取
x0?1.5|xk?x*|?L1?L|xk?xk?1|?12?10?3
?3|xk?xk?1|?1?LL?12?10?3?0.5?10
计算结果见表7-8.
x kx k 表7-8 k k 1 2 3
1.481248034 1.472705730 1.468817314 4 5 6 1.467047973 1.466243010 1.465876820
由于
|x6?x5|?12?10?3,故可取
x*?x6?1.466.
3、比较求e?10x?2?0的根到三位小数所需的计算量: (1)在区间[0,1]内用二分法;
xk?1?2?e10xkx(2)用迭代法,取初值
x0?0.
解 (1)因x*?[0,1],f(0)?0,f(1)?0,故0?x*?1,用二分法计算结果见表7-9. 表7-9 k ak bk xk f(xk)的符号1 2k?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |x14?x*|?0 0 0 0 0.0625 0.0625 0.0778125 0.0859375 0.08984375 0.08984375 0.08984375 0.090332031 0.090332031 0.090454101 0.090515136 1 0.5 0.25 0.125 0.125 0.09375 0.09375 0.09375 0.09375 0.091796875 0.090820312 0.090820312 0.090576171 0.090576171 0.090576171 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.09375 0.078125 0.0859375 0.08984375 0.091796875 0.090820312 0.090332031 0.090576171 0.090454101 0.090515136 0.090545653 + + + - + - - - + + - + - - + 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625 0.001953125 0.000976562 0.000488281 0.00024414 0.00012207 0.000061035 0.000030517 1215?0.000030517?12此时
?10,x*?x14?4具有三位有效数字.
(2)当x?[0,0.5]时,
xk?1?110(2?ek)x?(x)?[0,0.5],|?'(x)|?110|?e|?L?0.825x,故迭代试
在[0,0.5]上整体收敛.取
x0?0,迭代计算结果如表7-10所示.
表7-10 k 1 2
0.1 0.089482908 xkk 4 5 xk 0.090512616 0.090526468
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