2019届高考文科数学第一轮开卷速查检测题22(3)

图②中，G、H、N三点共面，但M?面GHN，因此直线GH与MN异面；

图③中连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图④中，G、M、N共面，但H?面GMN， ∴GH与MN异面．

所以图②④中GH与MN异面. 答案：②④ 三、解答题

15．已知，如图，空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AEAHCF

AD上的点，F，G分别是边BC，CD上的点，且AB＝AD＝λ，CB＝CG

CD＝μ(0＜λ，μ＜1)，试判断FE，GH与AC的位置关系．

AEAHCFCG

解析：∵AB＝AD＝λ，CB＝CD＝μ， ∴EH∥BD，FG∥BD.

∴EH∥FG，EH＝λ·BD，FG＝μ·BD. ①当λ＝μ时，EH∥FG，且EH＝FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH. AHCG

AD＝CD，∴HG∥AC. 由公理4知，EF∥GH∥AC. ②当λ≠μ时，EH∥FG，但EH≠FG.

∴四边形EFGH是梯形，且EH，FG为上下两底边，

∴EF，GH为梯形的两腰，它们必交于点P，P∈直线EF，P∈直线HG.又EF?平面ABC，HG?平面ADC，

∴P∈平面ABC，P∈平面ADC， ∴P是平面ABC和平面ADC的公共点． 又∵平面ABC∩平面ADC＝AC， ∴P∈直线AC，

∴三条直线EF，GH，AC交于一点．

综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF，GH，AC互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF，GH，AC交于一点．

答案：当λ＝μ时，三条直线EF，GH，AC互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF，GH，AC交于一点．

16．(1)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P点与a和b所成角φ＝45°的直线有几条？

(2)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一 点，则过P点与a和b所成角φ＝60°的直线有几条？

(3)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P

点与a与b所成角φ＝70°的直线有几条？

解析：过点P作直线a′∥a，b′∥b，且a′与b′所确定的平面为α.

(1)过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为45°. (2)过P点在平面α内存在一条直线(120°的角平分线)与a、b所成的角为60°；过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为60°，则与a、b所成的角为60°的直线有3条．

(3)过P点在平面α外a′、b′成60°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，过P点在平面α外a′、b′成120°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，则与a、b所成的角为70°的直线有4条．

答案：(1)2；(2)3；(3)4.

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1．设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )

A．不存在 C．恰有4个

B．只有1个 D．有无数多个

解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β，作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．

答案：D

2．[2018·广州模拟]在正四棱锥V-ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为( )

πA.6 πC.3

πB.4 πD.2

解析：如图所示，设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥V-ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD

是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即异π

面直线VA与BD所成角的大小为2. 答案：D

3．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为( )

A．1 C．3

B．2 D．4

解析：AB，CD，EF和GH在原正方体中如图所示，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有三对．

答案：C

4．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的

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