小波分析讲稿08f(ch0-3)(8)

我们引入Vm 在Vm?1中的正交补空间Wm ，即Wm?Vm,且Vm+1?Vm?Wm。 显然有： ①对?m?,m?Zm??mWm??Wm

m②f(t)?Wo?f(2t)?Wm 因

VN?VN?1?WN?1?VN?2?WN?2?WN?1?????Vs?Ws?Ws?1?????WN?1由MRA的性质（1）（3）（4）令N???,

S???得

L2(R)??Wm

m?????问题归结为：利用?(t)构造一个函数?(t):

{?(t?n)}，n?Z构成W0的一组标准正交基。

如何构造？

先看有限维空间R中的正交补问题. 设 V?R

nnV?span(a1,a2,...,al)aj?(aj1,aj2,...,ajn)T

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令(aj,x)?0，j=1,2,…,l.

?a11x1?a12x2?????a1nxn?0? ????????ax?ax?????ax?0lnn?l11l22 秩为l的线性齐次方程组，设其基础解系为 x?bj,(j?1,...,n?l)， 则

W?span{b1,...,bn?l},(a1,...,al,b1,...,bn-l)为Rn的一组基。V?W,Rn?V?W.

下面考虑如何构造?(t)

由于 V1?V0?W0 ，?(t)?W0。 所以同样有双尺度方程：

?(t)??gn?(2t?n)??? （*）

n?Zgn是待定系数。

令G(?)?12?g?in?ne n?Z定理3.3 设给定多尺度分析的尺度函数?(t)，则

（1）?(t)?W0 ? H(?)G(??)H?(??G)?(???) 0 <1>

（2） ??(t?k)?22k?Z构成正交系 ? G(?)?G(???)?1 <2> （3）<1>,<2>是函数系??(t?k)?k?Z构成W0的标准正交基的充要条件 证明 ：

（1） ?(t)?V1?????(t)?W0????(t),?(t?k)??0, k?Z

??(t),?(t?k)???12????(?)eik???(?)d?????????????????????????????1?

?????ik?2??G(2)?(2)H(2)??(2)ed?

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2?12??G(?2)?(?2)??(?2)eik?d???2

??????????12(n?1)???2?????G(2)?(2)??(?2)eik?d??n?Z2n22??1????2???n?Z?0G(2?n?)?(2?n?)?(?2?n?)eik?d???2

?????????12????2?G(?2?n?)?(??2?n?)?(??n?)eik?d?n02????12???2????2(??2n?)eik?d??n?0G(2?2n?)H(2?2n?)?22

????????12????2????G(?2n???)H(?2n???)?(??2n???)eik?d?n0222??12? ?2?0G(?2)H(?2?2)??(??2n?)eik?d? (H,G以2?为周期)n 22

?12? ?2?0G(???2??)H(2??)??(??2n???)eik?d?n 2??12???2??0??G(?2)H(????2)?G(2??)H(2??)??eik?d???????????? 上式右端对所有

k?Z??积分为0??????????0??

即G(?)H(?)?G(???)H(???)?0?? ?????0,??

当 ?????,2???时,?????????0,??

而 G(???)??G(??2???)?G(???)

同理H(???)?H(???)

从 G(w-p)H(w-p)?G(w)H(w)?0

可得?G(???)?(???)?G(?)?(?)?0两边取共轭知?1?对????0,2??成立 从而对任意???R成立

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（2）、（3）的证明同?(x)的同类关系 推论：取G(?)?e?i??(???)则定理3.3中的<1>、<2>式满足

?i(???)证明：?G(???)?e?(??2?)??e?i??(?)

???????????H(?)G(?)?H(???)G(???)??????????H(?)ei?H(???)?H(???)(?e?i?H(?)) ??????????0又: G(?)?H(???)2222 G(???)?e?i(???)H(??2?)ei(???)H(??2?) ?H(?) ? G(?)?G(???)?H(?)?H(???)?1

现就取推论中的G(?)来构造?(t)

2222G(?)?e?i??(???) ??hk(?1)ke?(1?k)?i

k ??h1-n(?1)1-ne?n?ingn? (?1)1-nh1-n n?Z是?(t)的一个解。

<3>

G(?)的取法不唯一，一种平凡的变化是G(?)?e?i?e?i??(???)，其中?为任意实数

从而

gn? (?1)nh1-n n?Z <3'>

也可以作为（*）的一种解。

如果取G(?)＝e?(???) 也行，但推论中的方法是最常用的。 我们可以在时域上也可以在频域上从尺度函数?(t)构造小波母函数?(t) 例1 Haar 小波

i? ?(t)???0,1?(t) ?(?)?[sin? ?2?2]e?i?2

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?(2?)1?e-i??H(?) ? ? ?C2???? h0?1,h1?1,hk?0 ,k?0,1

?2?(?)有双尺度方程

?(t)??(2t)??(2t-1)

取式<3’>

?1 t??0，0.5???????????????????????(t)??(2t)??(2t-1)???1 t??0.51，?

?0 其他 ?例2 构造Shannon小波

??t??sin?t=sinc(t) ?t?(?)????1??????????0 其他

?(2?)?H(?)??(?)得 由 ???1??????????????????????????????2H(?)?? 以2?为周期

??0 ??????23????i? e????????????22?i?G(?)?eH（???）?? 以2?为周期

?0 ?????0或－2?????3???22?(2?)?G(?)??(?)得 由 ?????i? e????????????????或?????(2?)??? 22???0 其他??i??(?)?? e2??????????????????2??????或????2? ????0 其他 40

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