小波分析讲稿08f(ch0-3)(2)

Gibbs现象

?0???t?0f(t)???sin(2t)0?t??设函数f(x)定义在(??,?)上，x0?(??,?)是f(x)的第一类间断点，在x0处f(x)有跃度h 设f(x0?0)?f(x0?0)，Sn(x)是f(x) 的Fourier 级数的n 阶部分和，则

n???x?x0limSn(x)?f(x0?0)?9%h

§4. 离散Fourier级数

在实际问题中常有这样的情况：f(x)?C2? 由在离散点上的值 f(xj)?fj

(j=0,1,…,N-1) 给出，假设等分[0?,2N 等分，N＝2m+1,

FN?(f(x0),f(x1),?,f(xN?1))

xj?

2j?, (j=0,1,…,2m)

2m?16

定义离散内积：

(f,g)??f(xj)g(xj) （I）

j?02m可证对任何 0?k,l?m，成立：

l?korl?k?0?0? (sinlx,sinkx)??sinlxj*sinkxj＝?2m?1l?k?0j?0??22ml?k?0?2m?12m?l?k?0 (coslx,coskx)??coslxj*coskxj＝?2j?0???2m?1l?k?0(coslx,sinkx)?0?l,k

{1,coskx,sinkx}m 按离散内积(I) 组成正交系。 k?1注：由于任一次数不高于m 的三角多项式在任一长度为2?的半开半闭区间上至多有2m 个零点，离散内积(I)在Tm中满足正性，是内积，但在更大的空间C2?中不满足正性，是拟内积。

因此，任意函数f(x)?C2?在Tn(n?m)中的最佳逼近为：

a0nSn(x)???(akcoskx?bksinkx)

2k?1其中：

22m2jk?ak?fcos?j2m?1(k?0,1,?,n)2m?1j?022m2jk?bk?fjsin(k?1,?,n)?2m?1j?02m?1

f(x)=|cos(x)|

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取m=6 N=13,

f(x) 的Fourier 级数部分和为

41111(?cos(2x)?cos(4x)?cos(6x)) ?21?33?55?7 ? 0.6366 +0+ 0.4244cos(2x)+ 0 -0.0849 cos(4x)+ 0+ 0.0364cos(6x) f(x) 的DFT级数部分和为 S6(x)?*S6(x)=0.6382-0.0023cos(x)+0.4212cos(2x)+ 0.0076cos(3x)-0.0815 cos(4x)

-0.0159cos(5x)+ 0.0326 cos(6x)

系数的误差向量为

（-0.0016 0.0023 0.0032 -0.0076 -0.0034 0.0159 0.0037）

由于在DFT的内积定义下，频率高于m的函数cos(kx),k>m 与S6(x)中出现的基函数不正交，高频部分在其上有投影。 出现“频率混叠”现象。

*

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§5. 广义Fourier级数

设{g0,g1,?,gn,?} 为L2(A)中的标准正交系，A 为有限或无穷的区间。 则对f(x)?L2(A) 可形式地展开：

f(x)??ckgk(x)

k?0?称为f(x)的 广义Fourier级数

广义Fourier级数的理论是调和分析的重要组成部分，在应用上适当选取{gi}，可以使展开式更有效，实际上，小波展开就是一种广义Fourier级数。

关于广义Fourier级数的收敛性（即正交系的完备性、完全性）以及正交系的选取，展开技巧等。可参看泛函分析、特殊函数论，以及计算方法等教材和专著。

§6 快速傅立叶变换（FFT）

1 三角函数插值或有限傅立叶变换

设函数f(x)在区间0?x?? 上的N 个分点2?l/N(l?0,1,?,N?1)上的值fl?f(2?l/N)（一般是复数）为已知。现在用已知的以为周期的周期函数

exp(ijx)?eijx?cos(jx)?isin(jx),j?0,1,?,N?1,i??1的线性组合

N?1j?0

P(x)??cjexp(ijx), （1）

作f(x)在这个区间上的三角函数插值，也就是要求（10.1）中的系数 cj（一般是复数）使在点2?l/N(l?0,1,?,N?1)上有

f(x)??cjexp(ijx),

j?0N?1也就是要求cj满足

fl?f(2?l/N)??cjexp(ij2?/N),j?0N?1 （2）

l?0,1,?,N?1.这在理论上容易办到。因为对每个

j， 函数 exp(ijx)在

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x?0,2?/N,?,2?(N?1)/N 上的值组成一个N 维向量

(1,exp(ij2?/N),?,exp(ij2?(N?1)/N),

而j=0,1,…,N-1 时的N个这种向量具有下列正交性：当k,j=0,1,…,N-1 时,

N?1?{exp(ij2?l/N)}?{exp(?ik2?l/N}?0,k?j, （3） ?{exp(ij2?l/N)}?{exp(?ik2?l/N}?N,k?j, (4)

l??01Nl?0（4）是显然的，至于（3），把它的左边记做A，则

A??exp(i[j?k]2?l/N)

l?0N?1是一个等比级数，由于0<|j-k|

A?{1?exp[i(j?k)2?l/N)}?1?{1?exp([i(j?k)k2?l/N])N}

又因为

exp([i(j?k)k2?l/N])N?exp[i(j?k)2?]?1

所以A＝0，即（3）式成立。

有了（3）和（4）我们就容易从（2）这组线性方程解出系数cj了：用

exp?(ik?2l/N),?0k?N?，乘（110.2）中各式两端，再对l从0到N-1求和，解

出ck，就得到

exp(?ij2?l/N),j?0,1,?,N?1. (5)

l?0（5）和（2）一起是{fl}及{cj} 这两组数据之间的一对互逆的变换关系，并列在

l1cj?N?fN?1一起，有

1cj?N?fl?0N?1lexp(?ij2?l/N),j?0,1,?,N?1;

fl??cjexp(ij2?l/N),l?0,1,?,N?1.j?0N?1由 {fl}求{cj}叫做f(x)的离散傅立叶变换，或者说{cj}是{fl}的离散傅立叶变换。由

{fl}求{cj}则称为反变换。注意这组公式并不对称。cj与fl 之间还有Parsevel等式

?j?0N?11|cj|?N2?j?0N?1|fl|2 (6)

不论是按（5）式求cj， 还是按（2）式求fl，运算都很简单，只是一些复数乘法

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