小波分析讲稿08f(ch0-3)(4)

f?(?)2——连续功率谱（功率密度），f?(?)2?? 为[?.????]成分的功率 argf?(?)——相位谱 Fourier变换的性质

（1）FT?f1(t)*f2(t)??FT?f1(t)??FT?f2(t)? （2）FT?f(at)??1??af(a) （3）FT?f(?t)??f?(??) （4）FT?f(t?t0)??f?(?)e?i?t0 （5）FT??dnf(t)?(dtn)????(i?)nf?(?) （6）F?1??dnG(?(?)d?n)????(?it)ng(t) （7）FT?f1(t)?f2(t)??FT?f1(t)?*FT?f2(t)?

Parseval等式 (f,g)?1?2?(f,g?) 证：

?f(t)g(t)??dtg(t)12??f?(?)ei?td??12??f?(?)d??g(t)e?i?tdt

?12??f?(?)g?(?)d?

令g?f则有

f2?1?22?f

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f?(?)反映了f(t)在整个实轴上的性状没有时间分辨率 几个特殊函数的FT

rect(t)????1t?????0t??

FT[rect?(t)]?????e?i?tdt?1?i?e?i?t???

?2?sin????

?:2?sic(??)注意f(t),f?(?)都是实的。 FT?1(2?sic(??))?rect?(t)

??t??2?sic(??)e?i?dt?2?rect?(t)

??sic(?t)e?i?t??dt???rect?(?)

利用性质（2）

FT(sic(t))?FT(sic(1??t))??rect?(??)

??rect(?)其余的如山形函数，?函数等的FT参见相关教材

§2 窗口Fourier变换（WFT）

引入窗函数g(t)

定义窗口Fourier变换(WFT)

Gf(?,?)??????f(t)g(t??)e?i?tdt

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对于g(t??)?0的t，对WFT不起作用，故g(t)有“窗口”性状，上式相当于在t??，附近开了一个窗，只看f(t)在窗口部分的性状。 例如g(t)?????,??(t)?rect?(t)

意义直观，但由于不连续，增加了附加的高频成分。 改进：supp(g)?[??,?],g?C 或要求g速降。

t2e.g.ga(t)?12?ae?4a2

需要引入窗口函数的中心与宽度 中心：

t*2g?1g2????tg(t)dt

一般凑成t*g?0t*g(t??)??

宽度?11g???g?????(t?t*g)2g(t)2dt?2?? 反演公式，若g?1

f(t)?1????2????d????Gf(?,?)g(t??)ei??d?

Gf(?,?)包含f(t)的全部信息 Gf(?,?)??f(t)g(t??)e?i?tdt

从频域上看，我们同时有：

e?i??Gf(?,?)?2???f(u)g?(u??)eiu?du

证明：据定义：

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G,?)?1??2?????f(u)eiutdu???g(t??)e?it?f(?dt?1?2??f(u)g(t??)ei(u??)tdtdut'??t??1? f(u)?g(t')ei(u??)t'ei(u??)?2??dt'du?e?i??1?2??f(u)g?(u??)eiu?du

大致来说：

G*f(?,?)是反映的是f(t) 在时域[tg????*g,tg????g]和频域[t**g?????g?,tg?????g?] 上的信息，相当于在时－频域上开了一个面积为4?g?g?的窗口。

Heisenberg不确定性原理：

定理：设窗口函数

g(t)?L2(??,??),tg(t)?L2(??,??),g?(?)?L2(??,??),?g?

(?)?L2(??,??)则

(?2g?g?)?14 证明 不妨设

t*?t*gg??0

?22(??2??t|g(t)|dt?????2|g?(?)|2d?gg?)??||g||2||g?||2

???t2???|g(t)|2dt???|g'(t)|2dt/||g||4

?1||g||4|????tg(t)g'(t)dt|2 19

11?d2?(tg(t)dt)242???||g||dt

?11122?(g(t)dt)?||g||42???4当g(t)?12?ae?t24a2

则 (?g?g?)2?1中取等号 称为Gabor 变换 4将Fourier 变换离散化，成为Fourier 级数,{e口Fourier 变换，如果离散式gm,k(t)?e??ikt}k?Z成为L2[a,b] 的一组基。而对窗

?iktg(t?m), k,m?Z,构成L2[－?，＋?]的

一组基，则tg(t) 或?g(?) 必有一个?L2(??,??).从而不能离散化。

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