第0章 预备知识
§1．函数逼近的概念
设f(x)，x?[a,b]是一个函数,我们常用另一个函数p(x)来近似代替它 e.g
sinx?x?x3x5x73!?5!?x2n?1 n7!???(?1)(2n?1)! f(x)?an02??(akcoskx?bksinkx)
k?1p(x)通常取在某个线性空间中：??span{?1,??n}
p(x)?C1?1(x)??Cn?n(x)
§2．关于空间的一些预备知识
线性空间V?线性赋范空间K?线性内积空间H 投影元：S*??nc*k?k (最佳平方逼近)
k?1特征 ：f?S*??
定义1 设K为线性赋范空间，f?K，s1,?sn,?为 K中一列元素。如果limn??f?snk?0，则称sn在K中收敛于f
记做
s||?||n???f(n???)
同一列sn在不同的K中，其收敛性可能不同
1
1?nx,x?[0,]?n?12?例：sn(x)??2?nx,x?[,]
nn?2?0,x?[,1]?n?sn(x)2L2[0,1]21n?2?n2x2dx?02?0 3n而 sn(x)C[0,1]?1
?定义2（Shauder基）设{xn}n?1是线性赋范空间K中的一列元素，若?x?k，存在唯一的数列{c}??nn?1使得
?k{x}，则称 cx???x?nnnn?1是K的一个 Shauder基。
N?n?1记做x??cxn?1nn
例如 l2?{(a1,a2,?an,?),
?a2i???}
en?(0,?0,1,0,?),{en}?n?1为l2的一个Shauder基
?定义3 线性赋范空间中的级数 x?排后所得级数
?c?n?1??cxn?1nn称为无条件收敛的。若将级数的项任意重
(n)?(n)x仍收敛于同一x，?是自然数集的任一置换
则称为无条件基。 ?cx无条件收敛的，
iiiBanach 空间中的Shauder基{xn}，如果对?f?定义4（Riesz基）Banach 空间中的Shauder基{xn}，如果存在常数A、B，0?A?B??? 使得 A(例：{e?|c|)?||?cx||2iii2?B(?|ci|2) 则称{xn}为Riesz基。
i2?nx??n???是
}L2[0,1]的 Riesz基
在Hilbert 空间中，无条件基与Riesz基等价。
正交基、Parseval等式、投影元的最佳逼近性、标准正交基
2
§3 Forier 级数
复的线性内积空间
设V为复数域上的线性空间，内积（可能是复数）应满足什么条件？
(x,y)?(y,x) ====? (x,y)?(y,x) (?x??y,z)??(x,z)??(y,z) 保持
(x,x)?0,\?\?x?0 保持
性质：
(x,?x??z)??(x,y)??(x,z) (x,y)2?(x,x)(y,y)
内积（常用）
Cn:(x,y)?x1y1?x2y2??xnyn
bf(x)实变量复值函数,f?L2[a,b]??f(x)2dx???
a(f,g)??Rf(x)g(x)dx
N或(f,g)??f(xj)g(xj)
j?1f(x)?L2[??,?]
a?f(x)~02??(akcoskx?bksinkx) （L2 收敛）
k?1?其中，ak?1??f(x)coskxdx，bk?1??????f(x)sinkxdx
?若f(x)?C12?，f(x)满足Dini-Lipchitz条件（例如f?C）
a?f(x)?02??(akcoskx?bksinkx) （C2?收敛）
k?1
3
Fourier级数有时取复数形式 如果f(x)是实变量复值函数
f(x)??Cke????ikx1，Ck?2?????f(x)e?ikxdx
由于eikx?coskx?isinkx
当f为实函数时
1Ck?2?????f(x)e?ikx1dx?2?????f(x)(coskx?isinkx)dx?1iak?bk,当k?0 22Ck＝C－k，当k<0
在复形式中涉及频率为k的两项:
ckeikx?c?ke?ikxi?(12ak?2bk)(coskx?isinkx)?(ak?bk)(coskx?isinkx)12i2
?akcoskx?bksinkx当f(x)?R，实和复的Fourier级数可互化。 有时复的Fourier级数更便于应用。 Fourier级数也可写成
a0?f(x)???ak2?bk2sin(kx??k)
2k?1把一个复杂的函数分解成有限多或无穷多个振动的叠加，ak?bk为振幅，k为频率，
22?k为初相位。许多函数用Fourier级数能得到相当好的结果。
对于某些特殊情况，试看下面两个例子：
??1,x?[??,0)?（1）f(x)??0,x?0
?1,x?(0,?]?
4
f(x)?11(sinx?sin3x?sin5x??) ?35?0,x?[??,0)
?sin2x,x?[0,?]4（2）f(x)??14?1f(x)?sin2x??cos(2k?1)x
2?k?04?(2k?1)2上两例中f（x）仅包含低频（和直流）成分，但由于突变的时间段上的不均匀性，f的
Fourier级数中附加了许多高频成分。
Fourier级数表现f(x) 在[0,2?]上的整体性质。 同时系数{Cj}称为频谱具有一定的物理意义
{Cn}称为离散振幅谱； {Cn}称为离散功率谱；
2{argCn}称为离散相位谱。
10.5-3-2-1-0.512f(x)=sgn(x) -1
5
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