29．将1至9分别填人图中的9个圆圈内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的圆圈内所填数之和都相等，那么这个和是多少？
30．将0，1，2，?，9这10个数分别填人图20﹣30中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？请分别给出使得和最大、最小的填法．
31．在下面的图中有11个空的圆圈，要求把1～13这些数填入各圈内（其中3，4已经填好），使得上面两个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面两个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面一个圈中的数），并且最下面空着的四圆圈中的数之和等于43．
32．图中共有10个圆圈，6条直线．请问：
（1）能否将l至10填人图中，使得每条直线上各数之和都相等？ （2）能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？
（3）请从1至1l中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等．
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参考答案
1．由以上分析可得：
【解析】
试题分析：我们从图中可以看出：中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”．因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来．这样，根据题目中“每条直线上的三个数的和相等”，只需考虑每条直线上两个数的和相等．1～7七个数字的和为28，只有中间圆圈内填上一个数字后，剩下的六个数字的和能被3整除（因为要分成和相等的三组数），才能填写．所以，中间圆圈内所填的数很快可以确定下来：可为1、4、7．这时，其它圆圈内的数也就可以很快填出． 解：根据题意可得：
当中间圆圈填入1时，剩下的六个数：2+7=3+6=4+5；那么三条直线上的和是2+7+1=10，而两个圆圈上的三个数2+3+5=10，另外三个数7+6+4=17，所以不符合；
当中间圆圈填入7时，剩下的六个数：1+6=2+5=3+4，那么三条直线上的和是1+6+7=14，而两个圆圈上的三个数不论怎么填都得不到14，所以不符合；
当中间圆圈填入4时，剩下的六个数：1+7=2+6=3+5；那么三条直线上的和是1+7+4=12，又1+5+6=12，7+3+2=12； 由以上分析可得：
点评：解答此题的关键是求出中间圆圈的数是多少，然后再进一步解答即可． 2．
【解析】
试题分析：首先根据第1列的三个数为16、11、12，求出幻和为：16+11+12=39；然后根据幻和为39，分别求出空格里的数即可． 解：因为第1列的三个数为16、11、12， 所以幻和为：16+11+12=39；
因此第2行的第2个数为：39﹣11﹣15=13， 第1行的第3个数为：39﹣12﹣13=14， 第1行的第2个数为：39﹣16﹣14=9， 第2列的第3个数为：39﹣9﹣13=17，
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第3列的第3个数为：39﹣14﹣15=10．
．
点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是首先求出幻和是多少． 3．
【解析】
试题分析：首先求出每行、每列、每条对角线上所填数之和均为：12+9+5+8=34，然后根据这个共同的和为34，分别求出空格里的数即可．
解：每行、每列、每条对角线上所填数之和均为：12+9+5+8=34， 所以第3行的第1个数为：34﹣5﹣16﹣3=10， 第2列的第1个数为：34﹣4﹣5﹣11=14， 第1行的第1个数为：34﹣14﹣7﹣12=1， 第2行的第1个数为：34﹣1﹣10﹣8=15， 第2行的第4个数为：34﹣15﹣4﹣9=6， 第3列的第4个数为：34﹣7﹣9﹣16=2， 第4列的第4个数为：34﹣12﹣6﹣3=13．
．
点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出每行、每列、每条对角线上所填数之和均为34． 4．
【解析】 试题分析：首先根据第1列的三个数分别为2、3、7，可得各列的各数之和均为：2+3+7=12；然后用12减去6，可得第4列的第1个数和第3个数的和是6，因此第4列的第1个数、第3个数可以分别为5、1；再求出第1行的4个数的和是：2+4+5+5=16，根据各行所填的数之和为16，各列所填的数之和为12，求出其余的空格中的数即可． 解：根据第1列的三个数分别为2、3、7，
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可得各列的各数之和均为：2+3+7=12，
所以第4列的第1个数和第3个数的和是：12﹣6=6， 因此第4列的第1个数、第3个数可以分别为5、1； 因为第1行的4个数的和是：2+4+5+5=16，
所以第2行的第2个数和第3个数的和是：16﹣3﹣6=7， 第3行的第2个数和第3个数的和是：16﹣7﹣1=8， 第2列的第2个数和第3个数的和是：12﹣4=8， 第3列的第2个数和第3个数的和是：12﹣5=7， 因此第2行的第2个数和第3个数分别是5、2， 第3行的第2个数和第3个数分别是3、5． 答：标有符号“*”的方格内所填的数是1．
．
点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等”，注意答案不唯一． 5．
【解析】 试题分析：
如图，首先根据第1行和对角线上a、15、11三个数的和相等，可得b+12=15+11，解得b=14，所以幻和为14+15+16=45；然后根据幻和为45，分别求出a、c、d、e的值即可． 解：如图，根据第1行和对角线上a、15、11三个数的和相等， 可得b+12=15+11， 解得b=14，
所以幻和为：14+15+16=45； 因此a=45﹣12﹣14=19， c=45﹣19﹣16=10， d=45﹣10﹣15=20， e=45﹣16﹣11=18．
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点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出幻和是多少． 6．△=5，▽=5，○=4． 【解析】 试题分析：
根据图示，因为h在第3列中，所以h不能是1、3；又因为h在第3行中，所以h不能是4；因为h在对角线上，所以h不能是5，因此h=2，a、p只能从1、3中各取一个，因为a在第1行中，所以a不能是1，只能是3，则p=1；因为c、l在第4列中，只能从3、5中各取一个，因为c在第1行中，所以c不能是3，只能是5，则l=3；因为e、△在第3列中，只能从4、5中各取一个，因为e在第2行中，所以e不能是5，只能是4，则△=5；因为d、f在第2行中，只能从1、3中各取一个，因为d在第1列中，所以d不能是3，只能是1，则f=3；因为k、m在对角线上，只能从1、4中各取一个，因为m在第1列中，所以m不能是1，只能是4，则k=1；因为○、b在第1行中，只能从2、4中各取一个，因为b在第4列中，所以b不能是4，只能是2，则○=4；所以j=2，▽=5，g=3，i=1，n=2，o=5，据此解答即可． 解：（1）根据图示，因为h在第3列中，所以h不能是1、3； 又因为h在第3行中，所以h不能是4； 因为h在对角线上，所以h不能是5， 因此h=2，a、p只能从1、3中各取一个， 因为a在第1行中，
所以a不能是1，只能是3，则p=1；
（2）因为c、l在第4列中，只能从3、5中各取一个， 因为c在第1行中，
所以c不能是3，只能是5，则l=3；
（3）因为e、△在第3列中，只能从4、5中各取一个， 因为e在第2行中，
所以e不能是5，只能是4，则△=5；
同理，可得d=1，f=3；m=4，k=1；b=2，○=4；j=2，▽=5，g=3，i=1，n=2，o=5． 答：△=5，▽=5，○=4．
．
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