第20章《四边形》好题集(14)：20.3+矩形+菱形+正方形(4)

Http://www.jyeoo.com

考点：坐标与图形变化-旋转；正方形的性质。 专题：操作型。

分析：根据AB和AC之间的距离，可将点A的坐标求出，根据点A和点C的坐标，可将A，C所在的直线方程求出，分别以C，A1，C1，A2，C2，A3，C3，A4，C4，A5为中心将正方形进行旋转，则上述10个点总在AC所在的直线方程上，根据所求的点到点C的距离，列出方程，可进行求解．

解答：解：设A点坐标为（a，b），点D的坐标为（c，d）， ∵正方形ABCD上点B的坐标为（0，2），点C的坐标为（2，1），

∴正方形ABCD的边长为=，对角线AC=，

∴，解得：c=3，d=﹣3；

，解得：a=1，b=4．

故AC所在直线方程为：y=﹣3x+7，点D的坐标为（3，﹣3）．

（1）若以C为中心，把正方形ABCD按顺时针旋转180°后，点A的对应点为A1， 则A1C=

，设A1点坐标为（x，y），则（x﹣2）+（﹣3x+7﹣1）=（

2

2

），解得：

2

x=3，x=1（舍去），

∴y=﹣3×3+7=﹣2， ∴点A1的坐标为（3，﹣2）；

（2）再以A1为中心，把正方形ABCD按顺时针旋转180°后，得到点C的对应点C1，若重复以上操作，则点C，A1，C1，A2，C2，A3，C3，A4，C4，A5都在AC所在的直线方程上，A5C=9

，

设A5的坐标为（u，v），则（u﹣2）+（﹣3u+7﹣1）=（

22

），解得：u=11，u=﹣7

2

?2010 箐优网

Http://www.jyeoo.com

（舍去）， ∴v=﹣3×11+7=﹣26， ∴点A5的坐标为（11，﹣26）．

点评：本题将一个图形的旋转放在坐标系中来考查，是一道考查数与形结合的好试题，也为高中后续学习做了良好的铺垫．从考试情况看，还有非常多考生没完全理解旋转的三大要素即中心、方向、角度，故失分的较多．本题综合考查学生旋转和坐标知识．

24、如图，平面直角坐标系中，已知正方形OABC，其中A，C分别在x轴、y轴上，B（2，2）将它绕O点旋转到正方形OA′B′C′的位置，已知两正方形的重叠部分的面积为

，

则点C′的坐标为 （﹣1，） ．

考点：坐标与图形变化-旋转；正方形的性质。 分析：作辅助线，连接点O和BC与A′B′的交点，根据两正方形重叠部分的面积可将正方形旋转的角度求出，从而可将C′的坐标求出． 解答：解：连接OD，可知△ODA′≌△ODC， ∵两正方形折叠部分的面积为

，OA′=2，

∴2×OA′×A′D=，

解得：A′D=，

∴tan∠A′OD===，

∴∠A′OD=∠A′OD=30°， ∴正方形ABCD绕O点旋转了30°， ∵∠COC′=30°， ∴OC′与x轴所成的角度为60°， ∴C′点的纵坐标值为：OC′×sin60°=

，横坐标值为：OC′×cos60°=1，

?2010 箐优网

Http://www.jyeoo.com

∴C′点的坐标为（﹣1，）．

点评：本题将一个图形的旋转放在坐标系中来考查，是一道考查数与形结合的好试题，也为高中后续学习做了良好的铺垫．从考试情况看，还有非常多考生没完全理解旋转的三大要素即中心、方向、角度，故失分的较多．本题综合考查学生旋转和坐标知识． 解答题

25、（2005?扬州）（1）计算：

= ﹣7 ；

（2）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．

考点：实数的运算；直角三角形全等的判定；正方形的性质。 分析：（1）按有理数的运算法则计算即可； （2）由同角的余角相等知，∠FAB=∠DAE，由正方形的性质知，∠AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，则ASA证得△AFB≌△ADE?DE=BF． 解答：解：（1）解：原式=3﹣2﹣8=﹣7；

（2）证明：∵∠FAB+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°， ∴∠FAB=∠DAE， ∵∠AB=AD，∠ABF=∠ADE， ∴△AFB≌△ADE， ∴DE=BF．

点评：此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质．学生对学过的知识要系统起来． 26、已知：关于x的方程

．

（1）k ≥时，方程有两个实数根；

?2010 箐优网

Http://www.jyeoo.com

（2）当方程的两根是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为时，则k= 2 ．

考点：根的判别式；根与系数的关系；矩形的性质。 分析：（1）已知一元二次方程有两实根，则△≥0，列不等式可解出k的取值范围； （2）连对角线可知，方程的两根为直角三角形的两直角边，

为斜边，用勾股定理得

x1+x2=（

22

），结合一元二次方程的两根关系求k的值；由于方程两根表示边长，为正

2

数，由此对k值进行检验．

解答：解：（1）依题意，△=[﹣（k+1）]﹣4×1×（k+1）=2k﹣3≥0，

2

2

∴k≥．

（2）设方程的两根为x1，x2，依题意知x1+x2=（

2

2

），

2

∵x1+x2=k+1，x1x2=k+1

2

∴x1+x2=（x1+x2）﹣2x1x2=（k+1）﹣2（k+1）=5

整理得：k+4k﹣12=0 ∴k1=﹣6，k2=2

当k1=﹣6时，x1+x2=k+1=﹣5＜0 ∴k1=﹣6（舍去）∴k=2．

点评：解决方程两根关系的问题，必要以方程有实数根为前提，由此求出待定系数的取值范围；再根据题意，结合两根关系求待定系数，并用待定系数的取值范围进行检验． 27、（2009?宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F． （1）则AM = DM；

（2）若DF=2，则菱形ABCD的周长为 16 ．

2

22222

?2010 箐优网

Http://www.jyeoo.com

考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质。

分析：（1）易证△AME是等腰三角形．则AM=AE=AB=AD，就可以证出；

（2）同理可以证出△DEM是等腰三角形，则DF=AD，就可以求出边长，求出周长． 解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC=∠DAC ． 又∵EF⊥AC， ∴AE=AM=AB=AD，

∴AM=DM．

（2）AB∥CD， ∴∠AEM=∠F ． 又∠FMD=∠AME，△DEM是等腰三角形， ∴∠AME=∠AEM． ∴DF=DM=AD．

∴AD=4． ∴菱形ABCD的周长是16．

点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等． 28、已知BD，CE是△ABC的两条高，M、N分别为BC、DE的中点，勇敢猜一猜： （1）线段EM与DM的大小有什么关系？EM = DM； （2）线段MN与DE的位置有什么关系？ 互相垂直 ．

考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质。 分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）结合（1）的结论，根据等腰三角形的三线合一即可得出结论． 解答：解：（1）EM=DM．理由如下： ∵在直角三角形BCE和直角三角形BCD中，BM=CM．

?2010 箐优网

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库第20章《四边形》好题集(14)：20.3+矩形+菱形+正方形(4)在线全文阅读。