第20章《四边形》好题集(14)：20.3+矩形+菱形+正方形(2)

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9、如图，若将正方形分成k个完全一样的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k= 8 ．

考点：正方形的性质；矩形的性质。 专题：图表型。

分析：设小长方形的长为x，宽为y，根据正方形的边长相等列方程从而可求得长与宽，从而不难求得k的值．

解答：解：设小长方形的长为x，宽为y则根据题意可知：2x=x+2y，即x=2y，长是宽的2倍，所以当上、下各横排两个时，中间竖排有4个，故k=8 故答案为8．

点评：主要利用了正方形的四边相等的性质作为相等关系找小长方形的长与宽的比．

10、如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为其各边的中点，则图中阴影部分的面积为．

考点：正方形的性质；勾股定理的证明；相似三角形的性质。 专题：几何图形问题。 分析：根据正方形的性质及相似三角形的性质求得阴影部分的边长，从而即可求得阴影部分的面积．

解答：解：正方形的边长为1，则AB=1，BF=，由勾股定理得，AF=，

由同角的余角相等，易得△BFW∽△AFB， ∴BF：AF=BW：AB=WF：BF，得WF=

，BW=

，

同理，AS=

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∴SW=AF﹣AS﹣WF=

∴阴影部分小正方形的面积（

）=

2

点评：本题利用了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．

11、如图，P为边长为1的正方形ABCD内的一点，△PAB为等边三角形，则S△ADP+S△BPC=．

考点：正方形的性质；等边三角形的性质。 专题：计算题。

分析：根据正方形的性质，利用两个三角形的面积公式进行整理即可求得其面积和． 解答：解：设△ADP的高为h1，△BPC的高为h2根据题意列方程得：S△ADP+S△BPC=AD×h1+BC×h2=BC（h1+h2）=×1×1=．

故答案为．

点评：此题主要考查正方形的性质的运用．

12、如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN=

．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：几何图形问题。 分析：连接BP，作EF⊥BC于点F，，由正方形的性质可知△BEF为等腰直角三角形，BE=1，可求EF，利用面积法得S△BPE+S△BPC=S△BEC，将面积公式代入即可． 解答：解：连接BP，作EF⊥BC于点F， 由正方形的性质可知∠EBF=45°， ∴BF=EF=

，BE=

，BC=

，

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又PM⊥BD，PN⊥BC，∴S△BPE+S△BPC=S△BEC，

即BE×PM+×BC×PN=BC×EF， ∵BE=BC， PM+PN=EF=

；

故答案为．

点评：解决本题的关键是作出辅助线，构造矩形和全等三角形，把所求的线段转移到正方形的对角线上．

13、如图，图中含有三个正方形ABCD，DEOF和PQGH，则正方形PQGH与正方形DEOF的周长之比为 2

：3 ．

考点：正方形的性质。

分析：作辅助线，连接OB，设正方形的边长为2a，正方形PQGH的边长为2x，可知正方形DEOF的边长为a，周长为4a； 根据OB=3x=

a，可将正方形PQGH的边长用含a的代数式表示出来，周长为8x，将两个

正方形的周长相比即可．

解答：解：连接OB，设正方形的边长为2a，正方形PQGH的边长为2x ∵FO∥AD ∴=

，FO=a

∴正方形DEOF的周长为4a 在Rt△BOC中，OB=3x=

a

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∴x=a

∴正方形PQGH的周长为8x=a

∴正方形PQGH与正方形DEOF的周长之比为：=

故答案为

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质，要注意数形结合． 14、已知四边形ABCD是菱形，△AEF是正三角形，E、F分别在BC、CD上，且EF=CD，则∠BAD= 100 度．

考点：正方形的性质；等边三角形的性质。 专题：几何综合题。 分析：连接AC，根据已知利用SAS判定△ABE≌△ADF再根据三角形的内角和求得∠BAE的度数，此时再求∠BAD就不难了． 解答：解：连接AC ∵∠BAC=∠DAC，∠FAC=∠EAC ∴∠BAE=∠DAF ∵AB=AD，AE=AF ∴△ABE≌△ADF ∴AE=AF，∠BAE=∠DAF 又∵∠BAC=∠DAC ∴∠EAC=∠FAC ∴AC⊥EF ∴EM=EF=AE ∴AB=AE ∴AB=AE，AF=AD

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∴∠ABC=∠AEB=∠EAF+∠DAF ∵∠ABC+∠AEB+∠BAE=180° 60°×2+3∠BAE=180° ∴∠BAE=20° ∴∠BAD=20°+60°+20°=100°． 故答案为100．

点评：本题考查正方形的性质与等边三角形的性质的理解及运用． 15、如图，正方形ABCD的边长为4，P为对角线AC上一点，且CP=3

，PE⊥PB交CD于

点E，则PE=．

考点：正方形的性质；勾股定理。

专题：几何图形问题。

2

分析：作辅助线，连接BE，根据AB，AP的长和∠BAP的度数，可将BP表示出来，同理可

22222将PE，BE表示出来，在Rt△BPE中，根据勾股定理BP+PE=BE，可将CE的长求出，进而可将PE的长求出．

解答：解：连接BE，设CE的长为x

∵AC为正方形ABCD的对角线，正方形边长为4，CP=3

∴∠BAP=∠PCE=45°，AP=4﹣3=

∴BP=AB+AP﹣2AB×AP×cos∠BAP=4+（

2222

）﹣2×4×

2

×=10

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