函数项级数一致收敛判定与性质论文(4)

存在,那么:

(1) 若对?x ∈ D , p( x) > p > 1 , 则函数项级数?un(x)在D 上

n?1?一致收敛;

(2) 若对?x ∈ D , p( x) < p <1则函数项级数?un(x)在D 上不一

n?1?致收敛;

证明 由定理条件知,对?ε > 0 , ?N ,使得对?n>N ,有 p( x) - ε <

即

1np(x)???lnun(x)?p(x)?? lnn?un(x)?1np(x)??

1 np则当p ( x) > p > 1 对x ∈D 成立时,有un(x)?而p级数Σ

?1当p > 1 时收敛,由优级数判别法知函数 pn项级数?un(x)在D上一致收敛;而当p( x) < p < 1对

n?1x ∈D 成立时,有un( x) >

?11， p 级数Σ当p < 1时发散,从而函ppnn数项级数?un(x)在D 上不一致收敛.

n?1例1 设un ( x) =上的函数列,由于

2?5?8??[2?3(n?1)]nx为定义在D = [0 ,1]

1?5?9?[1?4(n?1)]un?1(x)2?3n33?x?x??1limlimu(x)1?3n44 n??n n??0?un(x)?2由定理2 知函数项级数?un(x)在[0 ,1] 上一致收敛。

n?1? 14

例2 函数项级数Σ

n在( - ∞, - r ] ∪[ r , + ∞)上一致xn收敛(其中r为大于1的实常数) 。因为

由定理4知道结论成立。

nnnn1|n|???r?1 |x||x|x函数项级数的连续性：若函数项级数?un(x)在区间 [a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]上也连续。 这个定理指出：在一致收敛条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即

?(limun(x))?lim(?un(x)) x?x0x?x0函数项级数的逐项求积： 若函数项级数?un(x)在区间 [a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则

??aun(x)dx??a?un(x)dx 函数项级数的逐项求导： 若函数项级数?un(x)在上每一项都有连续的导数，x0?[a,b]为?un(x)的收敛点，且?un'(x)在[a,b]上一致收敛，则

ddun(x))?(?un(x)) dxdx1例题：设un(x)?3ln(1?n2x2),n?1,2? nbb ?(证明函数项级数?un(x)在[0，1]上一致收敛，并讨论其和函数的连续性，可积性，与可微性。

证明：对每一个n,易见在[0，1]上是增函数，故有

un(x)?un(1)?1ln(1?n2) 3n又当t?1时，有不等式ln(1+t2)

15

un(x)?un(1)?112

和函数的连续性、可积性、可微性定理告诉我们在一致收敛的条件下函数项级数各项的分析性质连续性、可积性及可微性才能保持到它的和函数当中去, 这一点是不容置疑的,

一般教科书上都有直接证明但一致收敛仅是充分而非必要条件, 既在非一致收敛的条件下, 结论也有可能成立这一点在讲授时势必重锤敲打

问题1 函数项级数?(n?1?nx(n?1)x?)的部分和22221?nx1?(n?1)xSn(x)?nx, 221?nxnx=0而这个函数项级

1?n2x2在〔0,1 〕上的和函数S(x)=limSn(x)?limn??n??数在〔0,1 〕上非一致收敛。事实上, 〔0, 1〕内取数列{},

1nlimn??11|S()?Sn()|?limnnn??n?1n1n2?1?n2?1?0 2即函数项级数在〔0,1 〕上非一致收敛, 而这个函数项级数的每一项上都连续。 则(1)和函数S(x

1n??显然在〔0,1 〕上连续

1n?? (2)?0[limSn(x)]dx?lim?0Sn(x)dx (3)不难证明?(n?1?nx(n?1)x?)在(0,1)内非一致收敛,但

1?n2x21?(n?1)2x216

?x?(0,1)有

0=

dS(x) dxnx(n?1)x(?) ?22221?nx1?(n?1)xn?1?d =

dx =?dnx(n?1)x(?) 22221?(n?1)xn?1dx1?nxk?k3x2(k?1)?(k?1)3x2[?] ?2222(1?kx)(1?(k?1)x)k?1n? =limn?? =limn??n?n3x2?0 222(1?nx)由此我们看出, 反例是推翻错误命题的手段, 在教学过程中, 有时恰如其分地使用一个反例, 对于说明一个陈述不真, 会收到很好的效果，盖尔鲍姆和奥姆斯特德说得好“ 一个数学间题用一个反例予以解决, 给人的刺激犹如一出好的戏剧” 所以在教学过程中要善于适时地使用反例, 会收到很好的教学效果。

1: 若?un(x)在I上一致收敛，?n?N,un(x)在I上一致连续，则和函

n?1?数在I上一致连续。

2： 若?un(x)在x0上的某个邻域内一致收敛,存在?n?N,un(x)在

n?1?x=x0处连续,则和函数S(x)在x=x0处连续.

3: 若?un(x)在(a,b) 内闭一致收敛(指(a,b) 内任一闭区间上一

n?1?致收敛) , ?n?N,un(x)在（a,b）内连续, 则和函数S(x)在(a,b) 内连续.

问题2 设{xn}是（0，1）内的一个序列，

17

0

（3）设{xk}是{xn}中任意一点，因

f(x)=?sgn(x?xn)sgn(x?xk)? nk22n?k右边第一项在x?xk处连续，第二项在x?xk处间断，因此f(x)在

x?xk处间断。

注 {xn}可以在（0，1）内稠密，因此证明x?xn是连续，无法用等 价形式（1），只能用等价形式（2）。

1问题3 证明f(x)??(x?)在（-1，1）内连续

nn?1?n 证明：?q: 0

1 ?x?[?q,q],?(q?)收敛

nn?1?n1n1n1n 18

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库函数项级数一致收敛判定与性质论文(4)在线全文阅读。