函数项级数一致收敛判定与性质论文

渤海大学学士学位论文

题目：函数项级数一致收敛判定与性质 系别：数学系

专业：数学与应用数学 姓名： 班级：

指导教师：

目录

摘要------------------------------------------------------------------------------1 英文摘要------------------------------------------------------------------------1 引言------------------------------------------------------------------------------2 一 预备知识-----------------------------------------------------------------2 二 函数项级数一致收敛的柯西准则-----------------------------------7 (一) M判别法----------------------------------------------------------8 (二) 阿贝尔判别法----------------------------------------------------9 (三) 狄立克雷判别法-------------------------------------------------9 三 函数项级数一致收敛的其他判别法------------------------------12

(一) (二) (三)

比式判别法-------------------------------------------------12 根式判别法-------------------------------------------------13 对数判别法-------------------------------------------------13

四 函数项级数的性质--------------------------------------------------15 五 反例证明--------------------------------------------------------------16 参考文献----------------------------------------------------------------21

函数项级数一致收敛的判定与性质

张月姣

（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）

摘要：利用柯西准则，证明函数项级数一致收敛的两个判别法。对比数项级数和函数项级数, 如比式判别法、根式判别法,同时还给出了函数项级数一致收敛性的对数判别法。通过反例说明了一致收敛是和函数分析性质的充分而非必要条件, 由此看出在数学分析教学中合理恰当地运用反例会收到很好的教学效果同时给出和函数连续性的三种等价形式, 而且在使用时, 各有好处。

关键词：函数列，和函数，函数项级数，一致收敛，数列

On Uniformly Convergence Criterion for Function Series

Zhang Yuejiao

(Department of Mathematic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)

Abstract :

the author proved two discriminances for uniform convergence by using the Cauchy

criterion. Through comparison between infinite series and function series ，for example, ie ratio test ,radical test and logarithm test ,for uniformly convergence of function series are obtained .This paper shows with inverse examples that consistence convergence is a full but not necessary condition for analytical properties of sum function,which sees good effect on teaching mathematics if used properly.Meanwhile three equavilences for sum function consistency,and the advantages in use is provided.

Key words :

Sequences of functions, Sum function, infinite Series of functions, Uniformly convergent, Sequence。

1

引言

函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许

多极其相似的地方,比如它们的收敛性、和的问题，但函数项级数还有一点不同于数项级数,就是关于它的一致收敛性。对比数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现,它们在判断方法上极其相似,特别是在它们判别法的名称上,比如它们都有Cauchy判别法、Abel判别法等. 对于函数项级数的一致收敛性,有没有类似于数项级数收敛性判别的其它方法,是一个值得研究的课题.

设{un(x)}是定义在数集E上的一个函数列，表达式 u1(x)+u2(x)+??un(x) ??,x?E 称为定义在E上的函数项级数，简记为?un(x)或?un(x)。称

n?1? sn(x)??uk(x)，x?E,n=1,2,?.

k?1n为函数项级数的部分和函数列。[1] 收敛的基本概念

一、函数列收敛的??N定义

设函数列?fn?与函数f均定义在数集D上，若对每一

x?D,???0,?N，当n?N时，有

fn(x)?f(x)??

则称?fn?在D上收敛于f，记作

fn(x)?f(x)(n??),x?D

2

或 limfn(x)?f(x),x?D

n??且称f为函数列?fn?在D上的极限函数。

注意：函数列?fn?在D上收敛于f，即是对每一x?D，数列?fn?收敛于f(x)。

二、函数列一致收敛的??N定义

设函数列?fn?与函数f均定义在数集D上，若???0,?N，当n?N时，对一切x?D，均有

fn(x)?f(x)??

则称?fn?在D上一致收敛于f，记作

fn(x)?f(x)(n??),x?D

三、函数项级数一致收敛的定义

若函数项级数?un(x)的部分和函数列?Sn(x)?在数集D上一致收

n?1?敛于S(x)，则称函数项级数?un(x)在D上一致收敛于S(x)或称

n?1??un(x)在D上一致收敛。

n?1?我们可以看到，函数列如果一致收敛，则一致收敛于它的极限函数，因此有必要先求出其极限函数，再根据证明极限存在的方法证明函数列一致收敛于极限函数。而函数项级数?un(x)的一致收敛性归

n?1?结到其部分和函数列?Sn(x)?的一致收敛性的研究上。[2]

例1 讨论函数列的一致收敛性

fn(x)?

xxlnnn3

(0?x?1)

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库函数项级数一致收敛判定与性质论文在线全文阅读。