函数项级数一致收敛判定与性质论文(3)

sinnx?n2, conxs?n2

在（-?,??）上一致收敛，因为对一切x?(??,??)有 |而正项级数?conxs1sinnx1|， ||??n2n22n2n21收敛。 n2定理2：阿贝尔判别法

(1)?un(x)在区间I上一致收敛; (2)对于每一个x?I,{vn(x)}是单调的；

(3){vn(x)}在I上一致有界，即对一切x?I和正整数n，存在正数M,使得

|vn(x)|?M, 则级数在I上一致收敛。

证明：由（1），任给??0,存在某正数N,使得当n>N及任何正整数P，对一切x?I，有

|un?1(x)???un?p(x)|

|un?1(x)vn?1(x)???un?p(x)vn?p(x)|?(|vn?1(x)|?2|vn?p(x)|)?3M?.

于是根据函数项级数一致收敛得柯西准则就得到定理得结论。 定理3：狄利克雷判别法 （1）?un(x)是部分和函数列

Un(x)??uk(x) (n=1,2?)

k?1n在I上一致有界；

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（2）对于每一个x?I,|vn(x)|是单调得； （3）在I上vn(x)?0(n??) 则级数在I上一致收敛。

证明；由（1），存在正数M，对一切x?I,有|Un(x)|?M.因此当n,p为任何正整数时，

|un?1(x)???un?p(x)|?|Un?p(x)?Un(x)|?2M. 对任何一个x?I,再由（2）及阿贝尔引理，得到 |un?1(x)vn?1(x)???un?p(x)vn?p(x)| ?2M(|vn?1(x)|?2|vn?p(x)|).

再由（3），任给?>0,存在正数N，当n>N时，对一切x?I,由有 |vn(x)|??, 所以

|un?1(x)vn?1(x)???un?p(x)vn?p(x)|?2M(??2?)?6M? 于是由一致收敛得柯西准则，级数在I上一致收敛。

例题2 函数项级数

(?1)n(x?n)n ? n?1n(?1)nx,vn(x)?(1?)n时，在?0,1?上一致收敛。因为un(x)?由阿贝尔判nn别法就得到结论。

例题3 若数列{an}单调收敛于0，则级数

?ancosnx

在??,2????（0

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证明： 在区间上有

1sin(n?)x2?1||?coskx|?|x2k?12sin 2111????1,2x?22|sin|2sin22n所以级数得部分和函数列在区间上一致有界，于是令 un(x)?cosnx,vn(x)?an, 由狄利克雷判别法得级数在区间上一致。

利用狄利克雷判别函数级数一致收敛得三个条件，一个也不能缺。

例如，{?1nx}?{}有界，对任意x?(0,??),{}均递减，

n?1nk?1(k?1)n?xx在{}在（0，+?）上收敛于0，但不一致收敛，从而?2n(n?1)nn?1（0，+?）内不一致收敛。

事实上，取xn?n3?(0,??)(n?1,2?) 则lim|n??xnn?0|??1 limn?1n2(n?1)n??所以{

x}在（0，+?）不一致收敛于0 2n(n?1)因此?x不一致收敛。 2n?1n(n?1)nk?再如{?(1?x)x}={x?xk?1n?1xn}在（-1，0）一致有界，{}在（-1，

nxn0）一致收敛于0，但对任意x?(-1,0),{}均不单调，

n 11

(1?x)x2n而?在（-1，0）内不一致收敛。

nn?1?结合数项级数比式判别法和根式判别法,可以得到函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法,同时利用p 级数的收敛性和优级数判别法还可得到函数项级数一致收敛性的对数判别法. 一 比式判别法

定理1 设 un ( x) 为定义在数集D 上正的函数列,记

qn(x) =

un?1(x) un(x)存在正整数N 及实数q、M ,使得:

qn(x)≤ q < 1 , uN(x)≤M 对任意的n > N , x ∈D 成立,则函数项级数?un(x)在D 上一致收敛

n?1?证明 易见

un(x)=

un(x)un?1(x)uN?1(x)???uN(x) un?1(x)un?2(x)uN(x) =qn?1(x)?qn?2(x)?qN(x)?uN(x) ?qn?N?1M

而等比级数?qn?Mq1?N当公比0 < q < 1 时收敛,从而由函数项级数

n?N?一致收敛性的优级数判别法知,?un(x)在D 上一致收敛.

n?1?定理1 有极限形式:

定理2 设un(x) 为定义在数集D 上正的函数列,记

qn(x)?

un?1(x) un(x)12

若limqn(x)?q(x)?q?1

n??且un(x) 在D 上一致有界,则函数项级数?un(x)在D上一致收敛.

n?1?二 根式判别法

定理3 设un( x) 为定义在数集D 上的函数列,若存在正整数N ,使得

n|un(x)|?q?1

对?n > N , x ∈D 成立,则函数项级数?un(x)在D上一致收敛.

n?1?证明 由定理条件,

|un(x)| ≤ qn 对?n > N , x∈D 成立,而几何级数Σqn收敛,由优级数判别法知, 函数项级数?un(x)在D 上一致收敛.

n?1?注:当定理3 条件成立时,级数?un(x)在D 上还绝对收敛。

n?1?定理3 的极限形式为:

定理4 设un(x) 为定义在数集D 上的函数列,

若limn|un(x)|?q(x)?q?1

n??对?x ∈D成立,则函数项级数在D 上一致收敛。 三 对数判别法

定理5 设un(x) 为定义在数集D 上正的函数列, 若

limn???lnun(x)?p(x) lnn13

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