函数项级数一致收敛判定与性质论文(2)

解 当n?3时，fn?(x)?(ln?1)?0，于是函数fn(x)在?0,1? 是单调递减函数，再由

xxlim?fn(x)?lim?ln?lim?ylny?0x?0x?0nny?0fn(1)?11ln?0 nn1nxn可知

?lnn11?ln?fn(x)?0(0?x?1) nnnlnn?0

n??n对于任意给定的??0，因lim故存在N?0，当n?N时，有

fn(x)?0?fn(x)?lnn?? n因此fn(x)在?0,1?上一致收敛于零。

例2 设f在?a,b?内有连贯的导数f?，记

1??fn(x)?n?f(x?)?f(x)?

n??证明在?a,b?内的任一子区间??,??上?fn?一致收敛收f?。

分析：要证fn(x)?f?(x)(n??),x???,??，因为极限函数为已知的，又由于这一函数f?以抽象形式给出的，因而易于用一致收敛定义试解之，为此，要证???0,?N，当n?N时，对一切x???,??，均有

1f(x?)?f(x)nfn(x)?f?(x)??f?(x)?? 1n 4

1f(x?)?f(x)n由于f?(x)连续，则只需将同f的导数f?表示出来，不1n难想到拉格朗日中值定理可以完成这一设想

1f(x?)?f(x)?n?f?(x?),0???1

1nn?????1??于是使f??x???f?(x)??，只要?x???x????即可。解之得

?n??n?nnn?，取n???，由于所找的N与x无关，则只要?与x无关即可，????1?1?这由f?的一致连续性即可办到。

证明 取a?????b

?x???,??，由拉格朗日中值定理知

1f(x?)?f(x)?nfn(x)??f?(x?),0???1

1nn???0，因f?在??,??上连续，则f?在??,??上一致连续，则???0，?x?,x?????,??，且x??x????时

f?(x?)?f??(x??)??

???1??因而，?x???,??，x????,??，只要?x???x????，就有

n?n?nnfn(x)?f?(x)??

于是?N????1，当n?N时，有??，对一切x???,??均有：

nN????fn(x)?f?(x)??，

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?1?111

则fn(x)?f?(x)(n??),x???,??

函数项极数?un(x)的一致收敛性归结到其部分和函数列?Sn(x)?n?1?的一致收敛性的研究上。[3]

例3 考察级数

?x2e?nxn?1?(0?x??)

的一致收敛性

分析：由于函数项级数的一致收敛性要归结到它的和函数列的一致收敛性上。所以我们首先要求出它的和函数列，由等比级数求和公式知当x?0时，S(x)??xen?1?2?nxx2?，对于任意n，由于 ?x1?eS(x)?Sn(x)?n?n?1?x?2?kxex2e?nx? 1?e?xx2e?nx因此级数的一致收敛性等价于函数列对区间(0?x??)的一致

1?e?x收敛于零。

证明 由等比级数求和公式知当x?0时

S(x)??xen?1?2?nxx2?1?e?x，

对任意n，

S(x)?Sn(x)?k?n?1?x?2?kxex2?e?nx? ?x1?e下面证明此函数列是一致收敛于零的。

x2x2?0，所以f(x)?由于lim在0?x?1有界且对于任意给定?xx?01?e?x1?e

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x2??。于是对所有自然数的??0，存在??0，当x?(0,?)时，有?x1?en,x?(0,?)，有

x2x2?nxe???， ?x?x1?e1?e而当??x??时，由x?ex知，当n?2时

x2e?(n?2)xe?(n?2)??nxe???0(n??) ?x?x??1?e1?e1?ex2?nxe于是在??x??地一致收敛于零，因此存在N，当n?N时，?x1?e对所有x???,???有

x2x2?nx?n?e?e?? ?x??1?e1?e这样当n?N时，对所有0?x??，有?xek?n?2?kxx2e?nx???，因此级数1?e?x?x2e?nx在0?x??上一致收敛。[4]

n?1?定义1： 设un(x)，（n?1,2?.）都是在数集D上由定义的函数，若存在一个在D上由定义的函数S(x),对任意的??0，存在自然数N,使得当n>N时，对一切x?D均有

|?uk(x)?s(x)|〈?

k?1?则称函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛于S(x).

n?1?函数项级数一致收敛的柯西准则：

函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛的充要条件：对任意的正数?，总存在某正整数N,使得当n>N时，对一切x?D和一切正整

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数p,都有

|sn?p(x)?sn(x)|

|un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)|

定理1：设函数项级数?un(x)定义在数集D上，?Mn为收敛的正项级数，若对一切x?D,有

|un(x)|?Mn，n=1.2.?, 则函数项级数?un(x)在D上 一致收敛。

证明：有假设正项级数?Mn收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数?，存在某正整数N，使得当n>N及任何正整数p,有

|Mn?1???Mn?p|=Mn?1???Mn?p??。 又对一切x?D有

|un?1(x)???un?p(x)|?|un?1(x)|???|un?p(x)| ?Mn?1???Mn?p??

根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数?un(x)在D上一致收敛。 例题1：函数项级数

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