2014年高考数学题分类汇编 函数与导数(6)

（1）当a?4时x2?1，由（Ⅰ）知f(x)在[0,1]上单调递增 ∴f(x)在x?0和x?1处分别取得最小值和最大值。 （2）当4?a?0时，x2?1，

由（Ⅰ）知f(x)在[0,x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减 ∴f(x)在x?x2??1?4?3a处取得最大值

3又f(0)?1,f(1)?a

∴当1?a?0时f(x)在x?1处取得最小值 当a?1时f(x)在x?0和x?1处同时取得最小值 当4?a?1时，f(x)在x?0取得最小值。

97.【2014·浙江卷（理20）】已知函数f(x)?x?3x?a,(a?R)

(Ⅰ)若f(x)在[?1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a)，求M(a)?m(a) (Ⅱ)设b?R，若?f(x)?b??4对x?[?1,1]恒成立，求3a?b得取值范围.

32???x?3x?3a,x?a?3x?3,x?a解：(1)f(x)??3,f'(x)??2???x?3x?3a,x?a?3x?3,x?a由于所在区间[?1,1]上，故对a讨论如下：23 i、a??1,x?[?1,1]?a,f'(x)?3x2?3?0,?M(a)?f(1)?4?3a,m(a)?f(?1)??4?3a,M(a)?m(a)?8

ii、?1?a?0,m(a)?f(a)?a3,M(a)?max{f(1),f(?1)}?4?3a?M(a)?m(a)?4?3a?a3iii、0?a?1,m(a)?f(a)?a3,M(a)?max{f(1),f(?1)}?3a?2?M(a)?m(a)?3a?2?a3iv、a?1,x?[?1,1]?a,M(a)?f(?1)?3a?2,m(a)?f(1)?3a?2?M(a)?m(a)?3a?2?3a?2?4

(2) 等价x?[?1,1],?2?b?f(x)?2?b,M(a)?m(a)?4 结合(1)得i,ii其中M(a)?m(a)?4故舍去 iv、只要2?b?3a?2?3a?b?0,a?1

iii、2?3a?2?a3?4,0?a?1,要恒成立，见下图

此时3a?2必须在??b,2?b??3a?b?[?2,0]

98.【2014·浙江卷（文21）】已知函数f?x??x3?3|x?a|(a?0)，若f(x)在[?1,1]上的最小值记为g(a).

（1）求g(a)；

（2）证明：当x?[?1,1]时，恒有f(x)?g(a)?4.

【解析】本题主要考查函数最大（最小）值的概念 、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力。满分15分。 （1）因为?1?x?1， ①当0?a?1时，

32若x?[?1,a]，则f(x)?x?3x?3a，f?(x)?3x?3?0，故f(x)在(?1,a)上是减函数； 32若x?[a,1]，则f(x)?x?3x?3a，f?(x)?3x?3?0，故f(x)在(a,1)上是增函数；

3所以，g(a)?f(a)?a.

32②当a?1，则x?a，f(x)?x?3x?3a，f?(x)?3x?3?0，故f(x)在(?1,1)上是减函数，

所以g(a)?f(1)??2?3a，

?a3,0?a?1综上所述，g(a)??.

??2?3a,a?1（2）令h(x)?f(x)?g(x)， ①当0?a?1时，g(a)?a，

若x?[a,1]，h(x)?x?3x?3得h?(x)?3x?3，所以h(x)在(a,1)上是增函数，所以h(x)在

323[a,1]上的最大值是h(1)?4?3a?a3，且0?a?1，所以h(x)?4，

故f(x)?g(a)?4.

若x?[?1,a]，h(x)?x?3x?3a?a，则h?(x)?3x?3，所以h(x)在(?1,a)上是减函数，

332所以h(x)在[?1,a]上的最大值是h(?1)?2?3a?a3， 令t(a)?2?3a?a3，则t?(a)?3?3a2?0，

所以t(a)在(0,1)上是增函数，所以t(a)?t(1)?4即h(?1)?4， 故f(x)?g(a)?4，

②当a?1时，g(a)??2?3a，所以h(x)?x3?3x?2，得h?(x)?3x2?3， 此时h(x)在(?1,1)上是减函数，因此h(x)在[?1,1]上的最大值是h(?1)?4， 故f(x)?g(a)?4，综上所述，当x?[?1,1]时恒有f(x)?g(a)?4.

99.【2014·北京卷（理18，文8）】已知函数

f(x)?xcosx?sinx,x?[0,]，

2?（1）求证：

f(x)?0；

sinx??b在(0,)上恒成立，求a的最大值与b的最小值.

2x（2）若a?【解析】（I）由f(x)?xcosx?sinx得

f'(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx。 因为在区间(0,?2)上f'(x)??xsinx???

0，所以f(x)在区间?0,?上单调递减。

?2?

从而f(x)?f(0)?0。

（Ⅱ）当x0时，“

sinxxa”等价于“sinx?axnis0”“

xxb”等价于“sinx?bx0”。

令g(x)?sinx?cx，则g'(x)?cosx?c， 当c?0时，g(x)0对任意x?(0,)恒成立。

2? 当c?1时，因为对任意x?(0,?2)，g'(x)?cosx?c???0，所以g(x)在区间?0,?上单

?2?调递减。从而g(x) 当0g(0)?0对任意x?(0,)恒成立。

2?c1时，存在唯一的x0?(0,)使得g'(x0)?cosx0?c?0。

2? g(x)与g'(x)在区间(0,

?2)上的情况如下：

x g'(x) g(x) (0,x0) → ↗ x0 0 (x0,) 2→ ↘ ?因为g(x)在区间?0,x0?上是增函数，所以g(x0)任意x?(0,“g(x)g(0)?0。进一步，0对

??2)恒成立”当且仅当g()?1?c?0，即0c?， 222?2? 综上所述，当且仅当c?时，g(x)0对任意x?(0,)恒成立；当且仅当c?1时，

?2?0对任意x?(0,)恒成立。 2sinx?2b对任意x?(0,)恒成立，则a最大值为，b的最小值为1. 所以，若ax2?100.【2014·北京卷（文20）】已知函数f(x)?2x3?3x. g(x)（1）求f(x)在区间[?2,1]上的最大值；

（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y?f(x)相切，求t的取值范围；

（3）问过点A(?1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y?f(x)相切？（只需写出结论）

?32（I）由f(x)?2x?3x得f'(x)?6x?3，令f'(x)?0，得x??22或x?， 22因为f(?2)??10，f(?22)?2，f()??2，f(1)??1， 222)?2. 2所以f(x)在区间[?2,1]上的最大值为f(?（II）设过点P（1，t）的直线与曲线y?f(x)相切于点(x0,y0)，则

y0?2x03?3x0，且切线斜率为k?6x02?3，所以切线方程为y?y0?(6x02?3)(x?x0)，

因此t?y0?(6x0?3)(1?x0)，整理得：4x0?6x0?t?3?0，

设g(x)?4x?6x?t?3，则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y?f(x)相切”等价于“g(x)32232有3个不同零点”， g'(x)?12x?12x=12x(x?1)，

2g(x)与g'(x)的情况如下：

x g'(x) g(x) (??,0) + 0 0 t+3 (0,1) 1 0 (1,??) + ? t?1 所以，g(0)?t?3是g(x)的极大值，g(1)?t?1是g(x)的极小值，

当g(0)?t?3?0，即t??3时，此时g(x)在区间(??,1]和(1,??)上分别至多有1个零点，所以

g(x)至多有2个零点，

当g(1)?t?1?0，t??1时，此时g(x)在区间(??,0)和[0,??)上分别至多有1个零点，所以

g(x)至多有2个零点.

当g(0)?0且g(1)?0，即?3?t??1时，因为g(?1)?t?7?0，g(2)?t?11?0， 所以g(x)分别为区间[?1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(??,0)和(1,??)上单调，所以g(x)分别在区间(??,0)和[1,??)上恰有1个零点.

综上可知，当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y?f(x)相切时，t的取值范围是(?3,?1). （III）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线y?f(x)相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y?f(x)相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y?f(x)相切. 101.【2014·天津卷（理20）】已知函数f(x)=x-ae两个零点x1,x2，且x1

x(a?R)，x?R.已知函数y=f(x)有

x2随着a的减小而增大； x1（Ⅲ）证明 x1+x2随着a的减小而增大.

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2014年高考数学题分类汇编 函数与导数(6)在线全文阅读。