设g(x)?f(x)?kx?2?x3?3x2?(1?k)x?4 由题设知1?k0.
当x≤0时，g'(x)?3x2?6x?1?k所以g(x)=0在???,0?有唯一实根。
当x0，g(x)单调递增，g(?1)?k?10,g(0)?4，
0时，令h(x)?x3?3x2?4，则g(x)?h(x)?(1?k)xh(x)。
2 h'(x)?3x?6x?3x(x?，2h)(x)在(0,2)单调递减，在(2,??)单调递增，所以
g(x)h(x?)h(?2)
所以g(x)?0在(0,??)没有实根.
综上，g(x)=0在R有唯一实根，即曲线y?f(x)与直线y?kx?2只有一个交点。
91.【2014·全国大纲卷（理22）】（本小题满分12分）函数f(x)?ln(x?1)?（1）讨论f(x)的单调性；
（2）设a1?1,an?1?ln(an?1)，证明：
ax(a?1). x?a23?an?. n+2n?22x?x?a?2a?????【解析】（I）f?x?的定义域为??1,???,f??x???x?1??x?a?2．
22（i）当1?a?2时，若x??1,a?2a，则f??x??0,f?x?在?1,a?2a上是增函数；若
????x??a2?2a,0?,则f??x??0,f?x?在?a2?2a,0?上是减函数；若x??0,???,则
f??x??0,f?x?在?0,???上是增函数．
（ii）当a=2时,fⅱ(x)?0,f(x)0成立当且仅当x=0,f(x)在(-1,+ )上是增函数．
2（iii）当a>2时，若x?(1,0)，则f??x??0,f?x?在是(-1,0)上是增函数；若x?0,a?2a，22则f??x??0,f?x?在0,a?2a上是减函数；若x?a?2a,??，则f??x??0,f?x?在
???????a2?2a,???上是增函数．
)时，f(x)>f(0)=0，
（II）由（I）知，当a=2时，f(x)在(-1,+ )是增函数．当x?(0,即ln(x+1)>2x(x>0)．又由（I）知，当a=3时，x+2f?x?在[0,3)上是减函数；当x?(0,3)时，
f(x) 3（ii）假设当n=k时结论成立，即 23．当n=k+1时，ln珑+1鼢>鼢珑珑桫k+2鼢232创3k+2=2,a=lna+1?ln骣3k+2=3，1<(k)k+123桫k+2+2k+3+3k+3k+2k+2即当n=k+1时有 23，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何n?N*结论都成立． （1）讨论函数f(x)的单调性； （2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围. 【解析】（1）f?(x)?3ax2?6x?3，f?(x)?3ax2?6x?3?0的判别式△=36（1-a）. （i）若a≥1，则f?(x)?0，且f?(x)?0当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数. （ii）由于a≠0，故当a<1时，f?(x)?0有两个根：x1??1?1?a?1?1?a， ,x2?aa若0 当x∈（x2，x1）时，f?(x)?0，故f（x）在（x2，x1）上是减函数； （2）当a>0，x>0时, f?(x)?0，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数. 若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当f?(1)?0且f?(2)?0，解得?综上，a的取值范围是[?5?a?0. 45,0)(0,??). 4ex293.【2014·山东卷（理20）】设函数f(x)?2?k(?lnx)（k为常数，e?2.71828???是自然 xx对数的底数）. （Ⅰ）当k?0时，求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围. ex?x2?2xex21(x?2)(ex?kx)?k(?2?)?(x?0)， 【解析】（1）f(x)?x4xxx3'当k?0时，kx?0,?ex?kx?0， 令f'(x)?0，得x?2，函数在x?(0,2)上单调递减，在(2,??)上单调递增； （2）令g?x??ex?kx，则g'(x)?ex?k， 令e?k?0，得x?lnk。 xe2由于g(0)?1?k?0,g(0)?1?0，g(2)?e?k?0,g?2??e?2k?0?k?， 2''22g?lnk??elnk?klnk?0?lnk?1?k?e e2（e,）综上知e的取值范围是。 294.【2014·山东卷（文20）】（本小题满分13分）设函数f(x)?alnx?（Ｉ）若a?0，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （II）讨论函数f(x)的单调性. 【解析】⑴由题意知a?0时，f(x)? 此时f(x)?'x?1 ，其中a为常数. x?1x?1,x?(0,??). x?121'f(1)?,f(1)?0。 ，可得 (x?1)22 所以y?f(x)在 ?1,f(1)? 处的切线方程为x?2y?1?0 ⑵函数f(x)的定义域为(0,??). a2ax2?(2a?2)?a? f?(x)??。 22x(x?1)x(x?1) 当a?0，f?(x)?0，函数f(x)在(0,??)上单调递增； 当a?0时，令g(x)?ax2?(2a?2)x?a。 由于??(2a?2)2?4a2?4(2a?1)， 1?(x?1)21①当a??时，??0，f?(x)?2，函数f(x)在(0,??)上单调递减； ?02x(x?1)2②当a??③当?1时，??0，g(x)?0，则f'(x)?0，函数f(x)在(0,??)上单调递减； 21?a?0时，??0，设x1x2(x1?x2)是函数g(x)的两个零点， 2则x1??(a?1)?2a?1?(a?1)?2a?1，x2?， aa2a?1?2a?1a?2a?1?2a?1由x1???0。 a?a所以 x?(0,x1)时，g(x)?0，f?(x)?0，函数f(x)单调递减； x?(x1,x2) 时， g(x)?0，f?(x)?0函数f(x)单调递增； x?(x2,??)时，g(x)?0，f?(x)?0函数f(x)单调递减。综上所述： 当a?0时，函数f(x)在（0，+?）上单调递增加； 当a?? 1时，函数f(x)在（0，+?）上单调递减； 2??(a?1)?2a?1???(a?1)?2a?1?10,,??f(x)??a?0当时，在?????,???上单调递减， aa2??????(a?1)?2a?1?(a?1)?2a?1?,在????上单调递增。 aa??95.【2014·江苏卷（19）】(本小题满分16分)已知函数 (1)证明:f(x)是R上的偶函数； (2)若关于x的不等式mf(x)≤e?x?m?1在(0,??)上恒成立，求实数m的取值范围； 3(3)已知正数a满足：存在x0?[1,??)，使得f(x0)?a(?x0?3x0)成立.试比较ea?1与ae?1的大小，并证明你的结论. f(x)?ex?e?x,其中e是自然对数的底数. 【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分16分. （1）?x?R，f(?x)?e?x?ex?f(x)，∴f(x)是R上的偶函数 （2）由题意，m(e?x?ex)≤e?x?m?1，即m(ex?e?x?1)≤e?x?1 ?xe?1对x?(0，??)，∴e?e?1?0，即m≤x??)恒成立 ∵x?(0，e?e?x?1x?x??)恒成立 令t?ex(t?1)，则m≤21?t对任意t?(1，t?t?1t?11∵21?t????≥?1，当且仅当t?2时等号成立 2t?t?1(t?1)?(t?1)?13t?1?1?1t?1∴m≤?1 3??)上单调增 （3）f'(x)?ex?e?x，当x?1时f'(x)?0，∴f(x)在(1，令h(x)?a(?x3?3x)，h'(x)??3ax(x?1) x?1，∴h'(x)?0，即h(x)在x?(1，??)上单调减 ∵a?0，∵存在x0?[1，??)，使得f(x0)?a(?x03?3x0)，∴f(1)?e?1?2a，即a?1e?1 e2ee-1a∵lna?1?lnae?1?lnea?1?(e?1)lna?a?1 e??设m(a)?(e?1)lna?a?1，则m'(a)?e?1?1?e?1?a，a?1e?1 aa2e当1e?1?a?e?1时，m'(a)?0，m(a)单调增； 2e当a?e?1时，m'(a)?0，m(a)单调减 因此m(a)至多有两个零点，而m(1)?m(e)?0 ∴当a?e时，m(a)?0，ae?1?ea?1； 当1e?1?a?e时，m(a)?0，ae?1?ea?1； 2e当a?e时，m(a)?0，ae?1?ea?1． 96.【2014·安徽卷（理19，文20）】（本小题满分13分）设函数f(x)?1?(1?a)x?x2?x3，其中a?0. (Ⅰ)讨论f(x)在其定义域上的单调性； (Ⅱ)当x??0,1?时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值. 2【解析】（Ⅰ）f(x)的定义域为(??,??)，f'(x)?1?a?2x?3x ?????? 令f'(x)?0得x1??1?4?3a?1?4?3a,x2?,x1?x2 33所以f'(x)??3(x?x1)(x?x2) 当x?x1或x?x2时f'(x)?0；当x1?x?x2时f'(x)?0 故f(x)在(??,x1)和(x2,??)内单调递减，在(x1,x2)内单调递增。 （Ⅱ）∵a?0，∴x1?0,x2?0 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2014年高考数学题分类汇编 函数与导数(5)在线全文阅读。
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