例6：质量为m=1kg的小球由高h1=0.45m处自由下落，落到水平地面后，反跳的最大高
2
度为h2=0.2m，从小球下落到反跳到最高点经历的时间为Δt=0.6s，取g=10m/s。求：小球撞击地面过程中，球对地面的平均压力的大小F。
解：以小球为研究对象，从开始下落到反跳到最高点的全过程动量变化为零，根据下降、上升高度可知其中下落、上升分别用时t1=0.3s和t2=0.2s，因此与地面作用的时间必为t3=0.1s。由动量定理得：mgΔt-Ft3=0 ，F=60N
例7、如图所示，，质量为Ｍ＝2kg的小车Ａ静止在光滑水平面上，Ａ的右端停放有一个质量为ｍ＝0.4kg、带正电荷ｑ＝0.8C的小物体Ｂ。整个空间存在着垂直于纸面向里、磁感应强度Ｂ＝0.5Ｔ的匀强磁场，现从小车的左端，给小车A一个水平向右的瞬时冲量I=26N﹒s，使小车获得一个水平向右的初速度，物体与小车之间有摩擦力作用，设小车足够长，求
（1）瞬时冲量使小车获得的动能 （2）物体Ｂ的最大速度?
（3）在A与B相互作用过程中系统增加的内能?（ｇ＝10m/s2）
解析：（1）瞬时冲量和碰撞是一样的，由于作用时间极短，可以忽略较小的外力的影响，而且认为，冲量结束后物体Ｂ的速度仍为零．冲量是物体动量变化的原因，根据动量定理即可求的小车获得的速度，进而求出小车的动能．
Ｉ＝Mv, v=I/M=13m/s, E=Mv2/2=169J
(2)要想得知物体Ｂ的速度何时最大，就要对瞬时冲量结束后Ａ、Ｂ物体相互作用的过程做一个较具体的分析。小车Ａ获得水平向右的初速度后，由于Ａ、Ｂ之间的摩擦，Ａ向右减速运动，Ｂ向左加速运动，同时由于罗伦兹力的影响Ａ、Ｂ之间的摩擦也发生变化，设A、Ｂ刚分离时速度为vB
qvBB＝ｍｇ
? 即 vB＝ｍｇ／Ｂｑ＝10ｍ/ｓ
若A 、Ｂ能相对静止，设共同速度为Ｖ，
由Ｍv0＝（Ｍ＋m）Ｖ
Ｖ=10.8m/s,
因vB<Ｖ说明Ａ、Ｂ在没有达到共同速度前就分离了 所以，Ｂ的最大速度为 vB＝10ｍ/ｓ
这一步的要害就是对两个临界状态进行分析和比较，最后确定Ｂ的最大速度。假如题中条件Ｉ＝20N﹒s,将得出vB＞Ｖ，就说明Ａ、Ｂ在没有分离前就达到了共同速度．则共同速度Ｖ就是Ｂ的最大速度，因为，Ａ、Ｂ在达到共同速度后速度不再发生变化，也就不会再分离。做过这个题目后，对本题的分析和反思时应该想到这一步。
(3) 由于罗伦兹力的影响Ａ、B之间的摩擦力逐渐减少，因此无法用Ｑ＝fs相对求摩擦产生的热量，只能根据机械能的减少等于内能的增加来求解。
由于Ｂ物体在达到最大速度时，两个物体已经分离，就要根据动量守恒定律求这时Ａ的速度，设当物体Ｂ的速度最大时物体A的速度为vA
Ａ、Ｂ系统动量守：Ｍv０＝ＭvA＋ｍvB
∴ vA＝(Mv0－mvB)/M=11ｍ/ｓ
Ｑ＝ΔＥ＝Ｍv０２/2－ＭvA２/2－ｍvB２/2＝28J
例8、设小车一辆玩具小车的质量为3.0kg，沿光滑的水平面以2.0m/s的速度向正东方向运动，要使小车的运动方向改变，可用速度为2.4m/s的水流由西向东射到小车的竖直挡板CD上，然后流入车中．求：要改变小车的运动方向，射到小车里的水的质量至少是多少？
解：设射入小车中的水的质量分别为M和 m，对于小车和射入的水组成的系统，水平方向动量守恒，以向东为正方向，有
随着射入小车中水的质量增加，车与车中的水的速度V要减小，直到速度V=0，射入小车的水质量再增加，V<0，小车（包括车中的水）的速度方向变为向西。因此对应V=0时的水的质量即为所求。
m=2.5kg。
三、动量守恒定律
（一）知识要点
1.动量守恒定律：一个系统不受外力或者受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。
??m2v2? 即：m1v1?m2v2?m1v1
2.动量守恒定律成立的条件
?系统不受外力或者所受外力之和为零；
?系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计；
?系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上动量守恒。 ?全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。
3.动量守恒定律的表达形式
??m2v2?，即p1+p2=p1+p2外，还有： 除了m1v1?m2v2?m1v1/
/
Δp1+Δp2=0，Δp1= -Δp2 和m1???v2
m2?v1
4.动量守恒定律的重要意义
从现代物理学的理论高度来认识，动量守恒定律是物理学中最基本的普适原理之一。（另一个最基本的普适原理就是能量守恒定律。）从科学实践的角度来看，迄今为止，人们尚未发现动量守恒定律有任何例外。相反，每当在实验中观察到似乎是违反动量守恒定律的现象时，物理学家们就会提出新的假设来补救，最后总是以有新的发现而胜利告终。例如静止的原子核发生β衰变放出电子时，按动量守恒，反冲核应该沿电子的反方向运动。但云室照片显示，两者径迹不在一条直线上。为解释这一反常现象，1930年泡利提出了中微子假说。由于中微子既不带电又几乎无质量，在实验中极难测量，直到1956年人们才首次证明了中微子的存在。（2000年高考综合题23 ②就是根据这一历史事实设计的）。又如人们发现，两个运动着的带电粒子在电磁相互作用下动量似乎也是不守恒的。这时物理学家把动量的概念推广到了电磁场，把电磁场的动量也考虑进去，总动量就又守恒了。
（二）例题分析
例1：质量为m=0.10kg的小钢球以Vo=10m/s的水平速度抛出，下落h=5.0m时撞击一钢板，撞后速度恰好反向，则钢板与水平地面的夹角θ=_______.刚要撞击时小球的动量的大小为________（g=10m/s2)
解：小钢球作平抛运动，撞击钢板时的竖直分速度Vy==10m/s.而水平方向作的是匀速运动，所以Vx=Vo=10m/s.而tgnθ=Vo/Vy=1，所以θ=450，另外钢球的末速度为：Vt=
P=mVt=
m/s，于是刚要撞击时小球的动量大小等于： kgm/s
例2.质量为m的钢球自高处下落，以速度V1碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地的速率为V2，在碰撞过程中，地面对钢球的冲量的方向和大小为（ ） A.向下，m(V1-V2) B.向下，m（V1+V2） C.向上，m(V1-V2) D.向上，m(V1+V2)
分析：将钢球作研究对象，钢球在碰地过程中的受力如图中的动画所示，图中mg为钢球受到的重力、N是受到地面对它的弹力，由于弹力和重力对钢球的冲量使钢球的动量发生改变.图中钢球的碰地速度V1，弹起速度为V2，我们假设垂直地面向上为正，对钢球运用动理定理得：
Nt-mgt=mV2-(-mV1)=mV2+mV1，
由于碰撞时间极短，t趋近于零，故mgt也趋于零可忽略不计，于是Nt=m(V2+V1),即弹力的冲量方向向上，大小等于m(V1+V2),故答案选D
例题3: 质量为M的小船以速度Vo行驶，船上有两个质量皆为m的小孩a和b，分别静止站在船头和船尾.现小孩a沿水平方向以速率V（相对于静水面）向前跃入水中，然后小孩b沿水平方向以同一速率（相对于静水面）向后跃入水中，求小孩b跃出后小船的速度。
本题是由三个物体组成的物体系，和两个物体过程的动量守恒定律的应用问题，选择合理的研究对象和研究过程可使解题方便简捷.
解答：选小孩a、b和船为一系统，在两小孩先后跳入水的整个过程中可忽略水的阻力.系统水平方向上动量守恒.设小孩b跃出后船向前行驶的速度为Vx，选Vx方向为正方向根据动量守恒定律有；
（M+2m)Vo=MVx+mV-mV 整理得：Vx=（1+2m/M)Vo
例题4:一列火车在水平直轨道上做匀速运动，总质量为M，速度为V，某时刻火车后部有质量为m的一节车厢脱钩，司机并未发觉，又继续行驶了一段距离，这期间车牵引力保持不变，并且火车各部所受的阻力跟运动速度无关，当司机发现时，后面脱钩的车厢的速度已减为V/3，求此时刻火车车厢前面部分的速度多大？
解答：火车原在铁轨上匀速运动，故所受合外力等于零，一节车厢脱钩后，牵引力和阻力均不变，火车系统合外力等于零，动量守恒.当脱钩车厢速度为V/3时，设前面部分的速度为V'，根据动量守恒定律有：MV=（M-m)V'+mV/3 解得：
例5.(20分)用轻弹簧相连的质量均为2 kg的A、B两物块都以v=6 m／s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4 kg的物块C静止在前方，如图所示.B与C碰撞后二者粘在一起运动.在以后的运动中.求：(1)当弹簧的弹性势能最大时，物体A的速度多大?(2)弹性势能的最大是多大?(3)A的速度有可能向左吗?为什么?
解：(20分)(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大. 由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，(mA mB)v＝(mA mB mC)vA′ ( 3分)
解得 vA′= m/s=3 m/s ( 1分)
(2) B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v′，则
mBv=(mB mC)v′( 3分) v′= =2 m/s ( 1分)
设物A速度为vA′时弹簧的弹性势能最大为Ep，
根据能量守恒Ep= (mB mC) mAv2- (mA mB mC) ( 3分)
= ×(2 4)×22 ×2×62- ×(2 2 4)×32=12 J ( 1分)
(3)(8分) A不可能向左运动
系统动量守恒，mAv mBv=mAvA (mB mC)vB 设 A向左，vA＜0，vB＞4 m/s 则作用后A、B、C动能之和
E′= mAvA2 (mB mC)vB2＞ (mB mC)vB2=48 J
实际上系统的机械能
E=Ep (mA mB mC)· =12 36=48 J
根据能量守恒定律， ＞E是不可能的
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