线性代数考研公式大全(3)

对称矩阵

AT?A。

反对称矩阵

AT??A。

简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。 如果

A是一个n阶矩阵，A是阶梯形矩阵?A是上三角矩阵，反之不一定

矩阵消元法：（解的情况） ①写出增广矩阵?A??，用初等行变换化?A??为阶梯形矩阵?B??。

②用

?B??判别解的情况。

i）如果

?B??最下面的非零行为?0,?,0d?，则无解，否则有解。

ii）如果有解，记?是?B??的非零行数，则

? ?n时唯一解。 ??n时无穷多解。

iii）唯一解求解的方法（初等变换法） 去掉

?B??的零行，得?B0 ?0?，它是n??n?c?矩阵，B0是n阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。

则bn n?0?bn?1 n?1?0??bii都不为0。

?A????行??Br???行??E?? ?就是解。

a11a12?a1n一个n阶行列式

a21a22?a2n????的值：

an1an2?ann ①是n!项的代数和

②每一项是n个元素的乘积，它们共有n!项 a1j1a2j2?anjn其中j1j2?jn是1,2,?,n的一个全排列。 ③a1j?a??j1j2?jn?1njn 前面乘的应为??1? ??j1j2?jn?的逆序数

???1???j1j2?jn?a1j1a2j2?anjn

j1j?2?jn??n?n?1??21??C2n?n?1?n?2

代数余子式

Mij为aij的余子式。

Ai?jij???1?Mij

定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。

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D?a21A21?a22A22???a2nA2n

一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。

范德蒙行列式

11?1

a1a1?an??(a2j?ai) Cn个 i?j

乘法相关

AB的

?i,j?位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj

乘积矩阵的列向量与行向量 （1）设m?n矩阵A???1,?2,?,?n?，n维列向量???b1,b2,?,bTn?，则

A??b1?1?b2?2???bn?n

矩阵乘法应用于方程组 方程组的矩阵形式

Ax??，

????b1,b2,?,bm?T?

方程组的向量形式 x1?1?x2?2???xn?n??

（2）设AB?C，

AB??A?1,A?2,?,A?s?

ri?A?i?b1i?1?b2i?2???bni?n

AB的第i个列向量是

A的列向量组的线性组合，组合系数是B的第i个列向量的各分量。

AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数是A的第i个行向量的各分量。

矩阵分解

当矩阵C的每个列向量都是

A的列向量的线性组合时，可把C分解为A与一个矩阵B的乘积

特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题

???1000? ???0??200?1,?2,?,?n??0?0? ???1?1,?2?2,?,?n?n? ?0??000??n?? 对角矩阵从右侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各列向量 对角矩阵从左侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各行向量 于是AE?A，EA?A

A?kE??kA，?kE?A?kA

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两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘

对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂

对一个n阶矩阵

TkA，规定tr?A?为A的对角线上元素之和称为A的迹数。

Tk?1 于是

???????????T??tr???T????T ?T??tr???T?

k?1 其他形式方阵的高次幂也有规律

?101??? 例如：A??020?

?101???初等矩阵及其在乘法中的作用 （1）E （2）E （3）E?i,j?：交换E的第i,j两行或交换E的第i,j两列 ?i(c)?：用数c??0?乘E的第i行或第i列

?i,j(c)?：把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第j列上。

A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换

初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵

乘法的分块法则

一般法则：在计算两个矩阵横向分割一致。

A和B的乘积时，可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向分割与B的

两种常用的情况 （1）A,B都分成4块

?A11A???A?21A12??B11?，B???BA22???21B12?? B22??Ai2的列数和B2j的行数相关。

其中Ai1的列数和B1j的行数相等，

?A11B11?A12B21AB???AA?AB2221?21110A2200???0? ????Akk???A11B12?A12B22?? ?A21B12?A22B22? （2）准对角矩阵

?A11??0 ???0? 13

?A11??0 ????0?

0A2200??B11???0??0????????Akk???0?0B22?00??A11B11???0??0?????????Bkk???0?0A22B220????0?? ??AkkBkk??0矩阵方程与可逆矩阵

两类基本的矩阵方程 （都需求

A是方阵，且A?0）

?I?Ax?B ?II?xA?B

（I）的解法：

?AB?????Ex?

行 （II）的解法，先化为

ATxT?BT。

?ATBT?ExT???。

通过逆求解：

Ax?B，x?A?1B

可逆矩阵及其逆矩阵

定义：设证作

A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得

AH?E，且HA?E，则称A是可逆矩阵，称H是

A的逆矩阵，

A?1。

A可逆?A?0 定理：n阶矩阵 求

A?1的方程（初等变换法）

行?1?AE?????EA?

伴随矩阵

?A11??A12 A*?????A?1n 线性表示

A21A22?A2nAn1???An2?T???A ij?????Ann???

?可以用?1,?2,?,?s线性表示，即?可以表示为?1,?2,?,?s的线性组合，

也就是存在c1,c2,?,cs使得 c1?1记号：?

?c2?2???cs?s??

??1,?2,?,?s

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线性相关性

线性相关：存在向量?i可用其它向量?1,?,?i?1,?i?1,?,?s线性表示。 线性无关：每个向量?i都不能用其它向量线性表示 定义：如果存在不全为0的c1,c2,?,cs，使得c1?1?c2?2???cs?s?0则称?1,?2,?,?s线性相关，否则称

?1,?2,?,?s线性无关。

即：?1,?2,?,?s线性相（无）关?x1?1???xs?s?0有（无）非零解

???1,?2,?,?s?x?0有（无）非零解

极大无关组和秩

定义：?1,?2,?,?s的一个部分组

?I?称为它的一个极大无关组，如果满足：

i）

?I?线性无关。 ii）

?I?再扩大就相关。

?I????1,?2,?,?s ?II???1??s??I?

定义：规定?1,?2,?,?s的秩? ??1,?2,?,?s??#?I?。

如果?1,?2,?,?s每个元素都是零向量，则规定其秩为0。

0?? ??1,?,?s??min?n,s?

有相同线性关系的向量组

定义：两个向量若有相同个数的向量：?1,?2,?,?s,?1,?2,?,?s，并且向量方程 x1,?1?x2?2???xs?s?0与x1?1?x2?2???xs?s?0同解，则称它们有相同的线性关系。

①对应的部分组有一致的相关性。 ?1,?2,?4的对应部分组?1,?2,?4，

若?1,?2,?4相关，有不全为0的c1,c2,c4使得 c1?1?c2?2?c4?4?0，

即

?c1,c2,0,c4,0,?,0?是x1?1?x2?2???xs?s?0的解，

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