线性代数资料及复习题2012

《线性代数》

复习资料

2012年10月

目录

第一部分 简明教程…………………………………………2 第二部分 复习思考题………………………………………7

一、 单选题????????????????????7 二、 判断题?????????????????????17 三、 填空题?????????????????????20 四、 计算题?????????????????????27 五、 证明题?????????????????????41

线性代数复习资料

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第一部分 简明教程

全课程总体指导 一、课程介绍

《线性代数》：同济大学数学教研室编，高等教育出版社出版。本教材选自高等教育“九五”国家教委重点教材，可供高等院校各专业使用。 二、课程主要内容概论及特点

本书主要内容为：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换。

本课程介绍线性代数的一些基本知识，只要具备中学数学的知识，就可自学。 三、学习方法

以自学为主，面授为辅。 四、参考书目

《线性代数》，侯振挺主编，湖南科技出版社。 《线性代数》，刘金旺主编，湖南师范大学出版社 五、自学及面授教学时间安排。 章节 第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 内容 每一章总学时 14 10 12 10 14 60 自学 时数 10 8 8 8 10 44 面授 学时 4 2 4 2 4 16 实验 学时 备注 第四章 向量组的线性相关性 第五章 相似矩阵及二次型 总学时

第一章 行列式 一、学习目的

理解n阶行列式的概念及其性质；熟练掌握行列式的计算；并会用行列式求线性方程组的解。

二、主要内容

1、全排列及其逆序数

把n个不同的元素排成一列，称之为这n个数的全排列（或排列）。 一个排列中所有逆序的总和叫做这个排列的逆序数。 2、n阶行列式的定义

2

若：把n个数排成n行n列的表

线性代数复习资料 2

a11a12???a1na21a22???a2n??????

an1an2ann定义：

?（-1）t

a1p1 a2p2 ? a n p n为n阶行列式

其中：p1 、p2、? p n为1、2、? n的一个排列 t为p1 、p2、? p n的逆序数

a11 a12 ? a1n 记作 a21 a22 ? a2n ? ? ＝

?（-1）t

a1p1 a2p2 ? a n p n a n1 a n2 ? a n n

3、对换

在一个排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，则称这一过程为对换。4、行列式的性质

5、行列式按行（或列）展开

设D为n阶非行列式，则有：

D＝ai1A i1＋ai2A i2＋?ainAin（ｉ＝１，2，?，n） 或D＝a1jA 1j＋a2jA 2j＋?anjAnj（j＝１，2，?，n） 其中Aij为aij的代数余子式 6、克莱姆法则及其应用

三、学习重点：行列式的计算及其应用 学习难点：行列式性质的证明及应用

第二章 矩阵及其运算

一、学习目的

理解矩阵的概念，掌握矩阵的各种运算及逆阵的求法，会进行矩阵的分块。 二、主要内容

1、线性变换与矩阵

n设y（iI=1，2，?，m）能用x（iI=1，

2，?，n）线性地表示，即：yi=?aijxj j?12，?，m）

则称xj（j=1，2，?，n）到yi（I=1，2，?，m）的变量叫做 线性变换。

把m×n个数排列如下数表：

??a11a12???a1n??aa?2122???a?2n????????? ??am1am2a?mn??

线性代数复习资料 i=1，

3

（此表为m行n列矩阵，记为：A=（aij）m×n

2、 矩阵的运算

（1） 矩阵与矩阵的加减法 （2） 数与矩阵的乘法 （3） 矩阵与矩阵的乘法 3、逆阵

设A为n阶方阵，存在一个n阶方阵B，使得：AB=BA=E，则称B为A的逆阵。 4、矩阵分块法及其应用

三、学习重点：矩阵的各种运算及逆阵的求法。

学习难点：矩阵的乘法运算及逆阵的求法。

第三章 向量组的线性相关与矩阵的秩

一、学习目的

掌握矩阵的初等变换、矩阵的秩，理解线性方程组的解及初等矩阵，并会求矩阵的秩及线性方程组的解。 二、主要内容 1、n维向量

把n个数组成一个数列：?=（a1，a2，? an），则称?为一个n维向量。 2、线性相关性

设向量组α1，α2，?αm，若存在一组不全为O的数λ1，λ2 ? λm，使得： λ1α1＋λ2α2＋?＋λmαm＝Ｏ成立

则称这组向量线性相关，反之则称之为线性无关 ３、线性相关的判别定理 ４、矩阵的秩与向量组的秩

设Ａ为m×n阶矩阵，若Ａ存在一个最高为ｒ阶不为零的子式，则称数ｒ为Ａ的秩，记为Ｒ（Ａ）＝ｒ

设α1，α2?αm为一向量组，若存在一个最大无关组，则把最大无关组所停职向量的个数称为α1，α2?αm的秩。 5、矩阵的初等变换及其应用 6、初等方阵及其应用

下列三种矩阵都称为初等方阵

（1） 把单位矩阵的两行（或两列）进行对换，所得的矩阵 （2） 把单位矩阵的某一行（或列）乘以一个数k（k≠0），所得的矩阵 （3） 把单位矩阵的某一行（或列）乘以一个数加到另一行（或列），所得矩阵 7、向量空间

三、学习重点：初等变换及矩阵的秩的求法。

学习难点：初等变换及初等矩阵的求法。

第四章 线性方程组

一、学习目的

理解向量组的秩及其线性相关性，并会判别向量组是否线性相关，理解向量空间，会解

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