理论力学(周衍柏第二版)答案(6)

dy1?2cos???sin???cos??cos2??2?sin? d?2极大值时dy?0，故有

d?tan??sin2?

由于是斜面的夹角，即0????,0????

22所以

???

2

1.19 解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题1.19.1图，

vmgRRv

mg上升时 下降时 题1.19.1图

则两个过程的运动方程为： 上升

???mg?mk2gy?2 ① m?y下降：

???mg?mk2gy?2 ② ?m?y对上升阶段:

dv??g1?k2v2 dt??dvdyvdv???g1?k2v2 dydtdy??即

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vdv??gdy 221?kv对两边积分

?所以

0v0hvdv??gdy 22?01?kvh?122ln1?kv0 ③ 22kg??即质点到达的高度. 对下降阶段：

dvdyvdv??g?k2gv2 dydtdy即

?v100vdv?gdy 22?h1?kvh??1ln1?k2v12 ④ 22kg??由③=④可得

v1?v01?kv220

1.20解 作子弹运动示意图如题1.20.1图所示.

??v0d题1.20.1图

水平方向不受外力，作匀速直线运动有

dcos??v0cos??t ①

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竖直方向作上抛运动，有

dsin??v0sin?t?12 ② gt2由①得

t?dcos? ③

v0cos?代入化简可得

22v0cos?sin????? d??gcos2?因为子弹的运动轨迹与发射时仰角?有关，即d是?的函数，所以要求d的最大值.把d对?求导，求出极值点.

22v0dd??sin?sin??????cos?cos???????0 ?2d?gcos?即

sin?sin??????cos?cos?????

cos?2?????0

所以?????，代入d的表达式中可得：

42dmax??2??sin???222v02v?????????42? 0??cos??sin???????ggcos2?????42??42?sin2?????2?22v0?????sec2??? g?42?此即为子弹击中斜面的地方和发射点的距离d的最大值

1.21 解 阻力一直与速度方向相反，即阻力与速度方向时刻在变化，但都在轨道上没点切线所在的直线方向上，故用自然坐标比用直角坐标好.

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yv0v?mg题1.21.1图vx

?O轨道的切线方向上有：

mdv??mkv?mgsin? ① dt轨道的法线方向上有：

v2m?mgcos? ② r由于角是在减小的，故

r??ds ③ d?由于初末状态由速度与水平方向夹角?来确定，故我们要想法使①②变成关于?的等式 由①

mdvdvdsdv?m?mv dtdsdtds即

mvdv??mkv?mgsin? ④ ds把代入可得

mv2d???mgcos? ⑤ ds用④?⑤可得

1dvkv?gsin? ?vd?gcos?1ksin?dv?d??d?gcos?vcos?v2- 29 -

dvkd?sin???d? 222vcos?gcos?vcos?cos?dv?vsind?kd? ?222vcos?gcos?即

d?vcos??kd?，两边积分得 ?222vcos?gcos??1k?tan??C ⑥ vcos?g代入初始条件t?0时，???,v?v0即可得

??1k ?C????tan????v0cos?g?代入⑥式，得

v?2gv0cos? ⑦

cos??kvcos?tan??tan???g?又因为v??r,mv?mgcos?

r所以

??把⑦代入⑧

d?gcos? ⑧

??dtvgv0cos?d???gcos?dt

cos??kvcos?tan??tan???g?积分后可得

11?2kv0sin??

??ln?1???tk?g?

1.22 各量方向如题

1.22.1图.

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