理论力学(周衍柏第二版)答案(4)

?e2r2?r2?2ar1?e2??2r2r2?2?2????2?2a?r?r 22a1?e?1?eb?????即

v?r?r?2a?r? b（其中b2??1?e2?a2,b为椭圆的半短轴）

1.9证 质点作平面运动，设速度表达式为

v?vxi?vyj

令为位矢与轴正向的夹角，所以

dvy?dvdvxdidvydj??dvx?v???i?????vx??j ?a??i?vx?j?vyy???dtdtdtdtdt?dt??dt?所以

?dv??dvy????vxi?vyj? a???x?vy???i???v?x?j????dt??dt??vxdvydvy dvx??v??vdvx?v?vxvy??vv?yxyxydtdtdtdt又因为速率保持为常数，即

v2x?v2y?C,C为常数

对等式两边求导

dvydvx2vx?2vy?0

dtdt所以

a?v?0

即速度矢量与加速度矢量正交.

1.10解 由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示，

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yO?p??,p??2???p??,?p??2?x

题1.10.1图则质点切向加速度

at?2v法向加速度an?，而且有关系式

dv

dt?dvv2 ① ??2kdt?又因为

1??y???1?y??322 ②

y2?2px

所以

y??p ③ yp2 ④ y????3y联立①②③④

p2dv??2kv2dty3?p2???1?y2????32 ⑤

又

dvdvdydv ????ydtdydtdy把y2?2px两边对时间求导得

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??x?yy

p又因为

?2?y?2 v2?x所以

v2??yy2 ⑥ 1?2p2把⑥代入⑤

p2y3?p???1?2??y??232v?y???1?2??p??212?dv??2kv2?dy

既可化为

dvdy ??2kp22vy?p对等式两边积分

?所以

vu?pdvdy ??2kp?22pvy?pv?ue?k?

1.11解 由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示

v?题1.11.1图a

?v2a??asin???nr ??a?dv?acos?t?dt?两式相比得

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v21dv

??rsin?cos?dt即

1dvcot?dt?2 rv对等式两边分别积分

?即

t0v1dv cot?dt??v0v2r11t??cot? vv0r此即质点的速度随时间而变化的规律.

1.12证 由题1.11可知质点运动有关系式

?v2?asin???r ①② ??dv?acos???dt所以 dv?dv?d??dv?，联立①②，有

dtd?dtd?dvv2??cos? d?rsin?又因为

v??r

所以 dv?cot?d?，对等式两边分别积分，利用初始条件t?0时，???0

vv?v0e????0?cot?

1.13 证（a）当v0?0，即空气相对地面上静止的，有v绝?v相?v牵.式中v绝 质点相对静止参考系的绝对速度， v相指向点运动参考系的速度， v牵指运动参考系相对静止参考系的速度.

可知飞机相对地面参考系速度：v绝=v?，即飞机在舰作匀速直线运动.所以飞机来回飞行的总时间

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t0?2l. v?（b）假定空气速度向东，则当飞机向东飞行时速度

v1?v??v0

飞行时间

t1?l v??v0当飞机向西飞行时速度

v?v相?v牵?v??v0

飞行时间

t2?l v??v0故来回飞行时间

t?t1?t2?ll2v?l ??22v??v0v??v0v??v0即

2lt0 t?v?2?2vv1?021?02v?v?同理可证，当空气速度向西时，来回飞行时间

t?t02 v01?2v?（c）假定空气速度向北.由速度矢量关系如题1.13.1图

v0v绝Av?题1.13.1图 v绝?v0?v?

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