其中
? ???又因为
rsin??2asin?
对两边分别求导 故有
???r?cos? 2acos?所以
V???r?cos?r2?2cos2?
??y????r?sin??xsin?????2cos?4??222?r?2cos?cos2??4sin?cos?sin?????
1.4 解 如题1.4.1图所示，
LAd?O第1.4题图xCB
OL绕O点以匀角速度转动，C在AB上滑动，因此C点有一个垂直杆的速度分量
v????OC??d2?x2
C点速度
v?d2?x2 2v??v?sec???dsec???cos?d又因为?点加速度 ???所以C
dv2?2xd2?x222?a???d?2sec??sec??tan???2d?sec?tan??dtd2- 11 -
??
1.5 解 由题可知，变加速度表示为
?t? ?a?c?1?sin?2T??由加速度的微分形式我们可知
a?dv dt代入得
?t? ?dv?c?1?sin?dt2T??对等式两边同时积分
?0可得 ：
vt??tdv?c??1?sin02T??
?dt?v?ct?2T?ccos?t2T?D（D为常数）
代入初始条件：t?0时，v?0，故
D??2T c?即
?2T??t??v?c?t??1?? ?cos??2T???又因为
v?ds
dt所以
?2T??t???1??dt ?cosds?c?t???2T???对等式两边同时积分，
?12T?2T?t??s?c?t2?sin?t?? ????2T???2
1.6解 由题可知质点的位矢速度
- 12 -
v//??r①
沿垂直于位矢速度
v????
又因为 v//?r???r ， 即
???r r?? ?v???r???即???ra?dvdd?j（取位矢方向i，垂直位矢方向j） ?i???r?r?dtdtdt??所以
?ddrdi?j?i????i?r???ri?r??rdtdtdt
?ddr?d??j?r????2i ??dj?r??j?r?r?j??j?rj?r?dtdtdtdt??故
?2i?r????2r?j ??a??r??r?????即 沿位矢方向加速度
?2 a??r??r???垂直位矢方向加速度
???2r? ??a??r???对③求导
????2r r???r对④求导
???????r2??r?????????????
r?r?把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得
?2?2
a//??r?2r???a????????
r??1.7 解 由题可知
- 13 -
?x?rcos? ①② ??y?rsin?对①求导
? ③ ??r?cos??rsin??x对③求导
?sin??r???sin??r??2cos?④ ?????cos??2r??xr对②求导
?cos?⑤ ??r?sin??r?y对⑤求导
?cos??r???cos??r??2sin?⑥ ??????yr?sin??2r对于加速度a，我们有如下关系见题1.7.1图
y?a??arO?题1.7.1图
x即
??arcos??a?sin?x?? ⑦--⑧ ???arsin??a?cos?y??对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦?cos?，⑧?sin? 即得
?cos??arcos??a?sin?cos?x?? ⑨--⑩ ??sin??arsin??a?sin?cos?y??⑨+⑩得
?cos????sin? ⑾ ar??xy把④⑥代入 ⑾得
?2 ar??r??r?同理可得
???2r? ??a??r?1.8解 以焦点F为坐标原点，运动如题1.8.1图所示]
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y??OFMx
题1.8.1图则M点坐标
?x?rcos?
??y?rsin?对x,y两式分别求导
???r?cos??r??sin??x ?????r?sin??r?cos??y故
?sin??2?y?2?r?cos??r?v2?x????r?sin??r??cos??22?2?r2?2 ?r如图所示的椭圆的极坐标表示法为
a1?e2
r?1?ecos???对r求导可得（利用????）又因为
11ecos? ??22ra1?ea1?e????即
a1?e2?r cos??re??所以
sin??1?cos??1?22a21?e2??2?r2?2ar1?e2r2e2??
故有
v?2e2?2r4a21?e22??2sin2??r2?2
?e2?2r4a?1?e222?[1?a1?e?22??r?2ar1?er2e22?2?]?r2?2
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