2012年高考试题解析数学函数与导数(5)

因为0?a?2，所以f(4)?f(1)，所以8a?4016??，所以a?1． 33最大值为f(1?1?8a10)?f(2)?． 23本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等．

9. (2011年高考湖南卷理科20)（本小题满分13分）如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v?0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c?R）.

E移动时单位时间内的淋雨量包括量部分：(1) P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨．．．．

量，假设其值与

v?c?S成正比，比例系数为

11；（2）其它面的淋雨量之和，其值为.记1023时， 2y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d?100，面积S????写出y的表达式；

????设0?v?10，0?c?5，试根据c的不同取值范围，确定移动速

度，使总淋雨量y最少. 解：

???由题意知，E移动时单位时间内的 ．．．．

31100?31?5v?c?，故y??v?c????3v?c?10? 202v?202?v淋雨量为

????由???知，

当0?v?c时，y?5?3c?3v?10??5?3c?10??15 vv5?3v?3c?10??5?10?3c??15 vv当c?v?10时，y??5?3c?10??15,0?v?c?v故y??

5?10?3c???15,c?v?10v?103c（1）当0?c?时，y是关于v的减函数，故当v?10时，ymin?20?

32

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（2）当

10?c?5时，在?0,c?上，y是关于v的减函数；在?c,10?上，y是关于v的增函数. 350 c故当v?c时，ymin?评析：本大题主要以生活化、物理性背景着重考查学生的阅读理解能力和抽象概括能力以及数学建模、解模的能力.

10. (2011年高考湖南卷理科22)（本小题满分13分）已知函数

f?x??x3,g?x??x?x.

???求函数h?x??f?x??g?x?的零点个数，并说明理由；

????设数列?an??n?N*?满足a1?a?a?0?,f?an?1??g?an?,证明：存在常数M,

使得对于任意的n?N解：

*,都有an?M.

???由h?x??x3?x?x知，x??0,???，而h?0??0,且h?1???1?0，

h?2??6?2?0，则x?0为h?x?的一个零点，且h?x?在?1,2?内由零点，

因此h?x?至少有两个零点.

1131?21?21?222解法1 h??x??3x?1?x,记??x??3x?1?x,则???x??6x?x,

242当x??0,???时，???x??0,因此??x?在?0,???上单调递增，则??x?在?0,???上至多有一

个零点，

?3??3???,1??0，则??x?在?又因为??1??0，??内有零点.所以??x?在?0,???上有且只有????3??3?一个零点，记此零点为

x1，则当x??0,x1?时，??x????x1??0;当x??x1,???时，

??x????x1??0;

所以， 当x??0,x1?时，h?x?单调递减，而h?0??0,则h?x?在?0,x1?内无零点；当x??x1,???时，

h?x?单调递增，则h?x?在?x1,???内至多只有一个零点，从而h?x?在?0,???上至多有一个零

点.

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综上所述，h?x?有且只有两个零点.

131???2??122?22解法2 由h?x??x??x?1?x?，记??x??x?1?x,则???x??2x?2x,

??当x??0,???时，???x??0,因此??x?在?0,???上单调递增，则??x?在?0,???上至多有一

个零点， 从而h?x?在?0,???上至多有一个零点.

?x?有且只有两个零点.

x02综上所述，h????记h?x?的正零点为x0，即x03?x0?（1）当a?

3x0时，由a1?a得a1?x0，而a2?a1?a1?x0?x0?x0，因此a2?x0.

ak?1?ak?ak?a?a?a3知ak?1?a

因此，当n?k?1时，ak?1故对任意的n?N

*3?a成立

,an?a成立

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综上所述，存在常数M?max?x0,a?,使得对于任意的n?N*,都有an?M.

评析：本大题综合考查函数与导数、数列、不等式等数学知识和方法以及数学归纳法、放缩法等证明方法的灵活运用.突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力. 11. (2011年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.

(Ⅰ)当0?x?200时，求函数v(x)的表达式；

(Ⅱ)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：

辆/小时）f(x)?xv(x)可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时） 本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：

（Ⅰ）由题意：当0?x?20时，v(x)?60；当20?x?200时，设v(x)?ax?b

1?a??,?200a?b?0,3再由已知得，解得? 20020a?b?60.?b?.3???60,0?x?20,?故函数v(x)的表达式为v(x)??1

(200?x),20?x?200.??3?60,0?x?20,?（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得f(x)??1

(200?x),20?x?200.??3当0?x?20时，f(x)为增函数，故当x?20时，其最大值为60×20=1200； 当20?x?200时，f(x)?x(200?x)?[131x?(200?x)210000]?,

323当且仅当x?200?x，即x?100时，等号成立. 所以，当x?100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值综上，当x?100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值

10000. 310000?3333. 3即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.

12. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）

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(Ⅰ)已知函数f(x)?lnx?x?1,x?(0,??)，求函数f(x)的最大值； (Ⅱ)设ak,bk(k?1,2,3?n)均为正数，证明：

kk（1）若a1b1?a2b2??anbn?b1?b2???bn，则a1ka2?an?1；

12nkk22（2）若b1?b2???bn?1，则?b1kb2 ?bn?b12b2?bn12n1n本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想. 解析：

（Ⅰ）f(x)的定义域为?0,???，令f'(x)?1?1?0，解得x?1， x当0?x?1时，f'(x)?0，f(x)在（0，1）内是增函数； 当x?1时，f(x)?0，f(x)在(1,??)内是减函数； 故函数f(x)在x?1处取得最大值f(1)?0

（Ⅱ）

（1）由（Ⅰ）知，当x??0,???时，有f(x)?f(1)?0，即lnx?x?1，

ak?bk?0，从而有lnak?ak?1，得bklnak?akbk?bk(k?1,2???,n)，

求和得

?lnak?1kknkbk??akbk??bk,

k?1k?1nn?ab??bk?1k?1nnk,??lnak?1nkk?0,即ln(a1k1a2k2???an)?0

?a1k1a2k2???ankn?1.

（2）①先证b11b22???bn?kk1. nn1,n)，则?akbk???1??bk,于是

k?1k?1nk?1k21令ak?(k?1,2,nbkk1nn?1??1?由（1）得????nbnb?1??2??b1k1b2k2???bnkn?1. nkn?1?1k1?k2??1，即?n??b1k1b2k2bnkn?nbn?kn?kn?n

②再证?b1k1b2k2???bn

?b12b22???bn2.

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