2012年高考试题解析数学函数与导数(3)

1?111???20. 解析：(lg?lg25)?1002?lg4100106. (2011年高考四川卷理科16)函数f（x）的定义域为A，若x1，x2?A且f（x1）时=f（x2）总有x1=x2，则称f（x）为单函数.例如，函数f（x）=2x+1（x?R）是单函数.下列命题： ① 函数f（x）=x（x?R）是单函数；

② 若f（x）为单函数，x1，x2?A且x1?x2，则f（x1） ?f（x2）；③ 若f：A?B为单函数，则对于任意b?B，它至多有一个原象； ④ 函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数. 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 答案：②③ 解析：

2f(?2)?f(2)，但?2?2，∴①不正确；

与“若x1,x2?A，且f?x1??f?x2?时总有x1?x2”等价的命题是“若x1,x2?A，且x1?x2时总有f?x1??f?x2?，故②③正确.函数在某个区间上具有单调性，但f（x）在整个定义域不一定是单函数，故④错.

7.(2011年高考江苏卷2)函数f(x)?log5(2x?1)的单调增区间是__________ 【答案】(?1,??) 21,??),由复合函数的单2【解析】考察函数性质，容易题。因为2x?1?0,所以定义域为(?调性知:函数f(x)?log5(2x?1)的单调增区间是(?1,??). 22x8.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)?的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________ 【答案】4

【解析】考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。设坐标原点的直线方

?y?kx2k2k?程为y?kx(k?0),则由?,2k)、(?,?2k)，即为P、2解得交点坐标为(kky??x?

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Q两点，所以线段PQ长为2段PQ长的最小值是4.

22?2k?22?2k?4，当且仅当k?1时等号成立，故线kk?2x?a,x?19．(2011年高考安徽卷江苏11)已知实数a?0，函数f(x)??，若

?x?2a,x?1?f(1?a)?f(1?a)，则a的值为________

【答案】?1 23212【解析】因为f(1?a)?f(1?a),所以x?1是函数f(x)的对称轴,所以f()?f(),所以a的值为?1. 2?2x?2?,10．(2011年高考北京卷理科13)已知函数f(x)??x若关于x 的方程f(x)=k有

?(x?1)3,x?2?两个不同的实根，则数k的取值范围是_______ 【答案】（0，1）

【解析】画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想. 11．(2011年高考上海卷理科1)函数f(x)?【答案】

1?1的反函数为f(x)? 。 x?21?2x[来源学*科*网]

【解析】设y?111,则x??2,故f?1(x)??2. x?2xy12．(2011年高考上海卷理科13)设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若

f(x)?x?g(x)在[3,4]上的值域为[?2,5]，则f(x)在区间[?10,10]上的值域

为 。 【答案】[?15,11]

【解析】本小题考查函数的性质. 三、解答题:

1. (2011年高考山东卷理科21)（本小题满分12分）

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，

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左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

80?立方米，且l≥2r.假设该容器的建造3费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3).设该容器的建造费用为y千元.

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r. 【解析】（I）设容器的容积为V，

由题意知V??rl?24380??r,又V?, 334V??r38044203故l???r?(2?r) 22?r3r33r由于l?2r 因此0?r?2.

所以建造费用y?2?rl?3?4?rc?2?r?因此y?4?(c?2)r?22420(2?r)?3?4?r2c, 3r160?,0?r?2. r160?8?(c?2)320(r?),0?r?2. （II）由（I）得y'?8?(c?2)r?2?2rrc?2由于c?3,所以c?2?0,

当r?32020?0时,r?3. c?2c?2令320?m,则m?0 c?28?(c?2)(r?m)(r2?rm?m2). 2r9 （1）当0?m?2即c?时，

2所以y'?当r=m时,y'=0;当r?(0,m)时,y'<0; 当r?(m,2)时,y'>0.所以r?m是函数y的极小值点，也是最小值点。 （2）当m?2即3?c?9时， 2

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当r?(0,2)时,y'?0,函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点， 综上所述，当3?c?来源学科网ZXXK]

9时，建造费用最小时r?2; 2当c?920时，建造费用最小时r?3. 2c?22．(2011年高考浙江卷理科22)（本题满分14分）设函数f(x)?(x?a)2lnx(a?R)（Ⅰ）若x?e为y?f(x)的极值点，求实数a（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意x?(0,3e]恒有f(x)?4e2成立 注：e为自然对数的底数

【解析】（Ⅰ）因为f(x)?(x?a)2lnx所以

(x?a)2af?(x)?2(x?a)lnx??(x?a)(2lnx?1?)因为x?e为y?f(x)的极值点所以

xxaf?(e)?(e?a)(3?)?0解得a?e或a?3e经检验，符合题意，

e所以a?e或a?3e

2（Ⅱ）①当0?x?1时， 对于任意实数a，恒有 f(x)?0?4e成立 22②当1?x?3e 时，由题意，首先有f(3e)?(3e?a)ln3e?4e

解得3e?a2e2e 由（Ⅰ）知 f?(x)?(x?a)(2lnx?1?) ?a?3e?xln(3e)ln(3e)令h(x)?2lnx?1?a 则h(1)?2ln1?1?a?1?a?0，h(a)?2lna?0 x且h(3e)?2ln(3e)?1?a?2ln(3e)?1?3e3e?2eln(3e)1?2(ln3e?)?0

3e3ln(3e)又h(x)在(0,??) 内单调递增，所以函数h(x) 在(0,??)内有唯一零点，记此零点为x0 ，则1?x0?3e，1?x0?a从而，当x?(0,x0) 时，f?(x)?0 当x?(x0,a) 时f?(x)?0 当x?(a,??) 时 f?(x)?0即f(x) 在(0,x0)内单调递增，在(x0,a)内单调递减，

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在(a,??) 内单调递增。所以要使f(x)?4e2对x?(1,3e]恒成立，

?f(x0)?(x0?a)2lnx0?4e2,只要?22?f(3e)?(3e?a)ln(3e)?4ea?2x0lnx0?(1)(2)成立，由h(x0)?2lnx0?1?a?0，知x02x3将)（3）代入（1）得4x0ln3x0?4e2.又x0?1。注意到函数x2ln3x在0(

[1,??)内单调递增，故1?x0?e

再由（3）以及函数2xlnx?x在(1,??) 内单调递增，可得1?a?3e ， 由（2）解得3e?2e2e2e ，所以3e??a?3e??a?3e

ln(3e)ln(3e)ln(3e)2e?a?3e.

ln(3e)综上，a的取值范围为3e?3．(2011年高考辽宁卷理科21) (本小题满分12分) 已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x. (I)讨论f（x）的单调性； （II）设a＞0，证明：当0＜x＜

111时，f（+x）＞f（-x）； aaa（III）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f’（ x0）＜0.

解析：(I)f(x)的定义域为(0,+∞),f'?x???2x?1??ax?1?, 1?2ax??2?a???xx①若a≤0，f'?x??0，所以f(x)在(0,+∞)单调增加； ②若a>0，则由f'?x??0得x?11?1?，且当x??0,?时，f'?x??0，当x?时， aa?a??1??1?f'?x??0，所以f(x)在?0,?单调增加，在?,???单调减少.

?a??a?（II）设g?x??f??1??x???a??1?f??x?，则g?x??ln?1?ax??ln?1?ax??2ax， ?a?

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