数学建模-房价问题(3)

人均消费支出走势图25000人均消费支出2000015000100005000005年份10y = 98.17x2+ 287.7x + 8486.R2 = 0.995年份人均消费支出15多项式(人均消费支出)

图9

土地交易价格指数走势图200土地交易价格指数150y = 10.92x -21760R2 = 0.957土地交易价格指数线性(土地交易价格指数)1005001998200020022004200620082010年份

图10

用图中数据，代入相应年份，可计算得

人均可支配收入： R2=0.997 预测值 2010年：29268 2011年：32644 人均消费支出： R2=0.995 预测值 2010年：21180 2011年：23529 土地交易价格指数： R2=0.957 预测值 2010年：189.2 2011年：200.12

将上述数据代入公式（2）可得2010年预测房价为：15803元/平方米 2011年预测

房价为：18829元/平方米

已知2010年上海市房价为19168元/平方米，为什么预测的结果与实际有这么大的

差距，一方面是由于2010年对于土地价格指数等数据的缺失使得我们的模型只是建立在2000-2009年的，并且忽略了政策出台政策和地方特殊活动情况的影响。2010年上海

10

举办世博必然会对房价产生重大影响。另一方面是08金融危机后，在后两年房价有复苏景象。由于2009年2010年房价的差距较大且其他数据不易查找，我们将进一步采用较为合适的灰色序列预测利用2000-2010年的数据对房价进行预测。 3.2.2：灰色预测模型

1、灰色预测模型建立与求解（原理见附录B）

房地产发展受众多因素的影响，其中部分因素可以确定，部分因素未知。灰色预测模型（Gray Forecast Model）认为一切随机量都是在一定范围内、一定时间段上变化的灰色量及灰色过程. 数据处理不去寻找其统计规律和概率分布, 而是对原始数据作一定处理后, 使其成为有规律的时间序列数据, 在此基础上对上海房价的变动建立数学模型做出预测.。

本模型以上海市为例，经过资料的查证，我们得到上海市2001—2010房价原始数据如下表．

表4 上海市2001—2010年房价

年份 房价 2001 3659 2002 4007 2003 4989 2004 6385 2005 6698 2006 8237 2007 2008 2009 2010 10292 13411 15800 19168 根据已知数据，建立GM(1,1)模型对2011—2015年上海房价走势进行预测。 （1） 由原始数据列计算一次累加数据列，结果见表。。。

表5 一次累加数据

年2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 份 序1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号 （0）x 3659 4007 4989 6385 6698 8237 10292 13411 15800 19168 （1）x 3659 7666 12655 19040 25738 33975 44267 57678 73478 92646 （2）建立矩阵：B、y

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?1?-2?1?-?2?-1?2?1B??-?2?-1?2?1?-?2?-1?2??X?X?X?X?X?X?X(1)(2)?X(1)(1)(3)?X(1)(4)?X(1)(5)?X(1)(6)?X(1)(7)?X(1)(8)?X(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)?(2)?(3)?(4)?(5)?(6)?(7)??1??1???5662.5???10160.51?????15847.5?1???22389?????29856.51?????39121?1???50972.5????655781?????83062?1?1??1??1?1??1?1??1?1??

y?[x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5),x(0)(6),x(0)(7),x(0)(8),x(0)(9),x(0)(10)]T?[4007,4989,6385,6698,8237,10292,13411,15800,19168]T

（3）由

T-1T?(BB)ByU??，求估值a和u

?????61a??(BTB)-1BTy??-0.197????2802.?U???5??u??

(1)x(1)?3659，故时间响应方程为 au把和带入时间响应方程，由于

??x(1()k?1)?x[

(1)u?aku(?1?)e]??aa???

1418 1.97460.19k617467? ?17840.9e(1)0.19761kx?14181.9746来进行外推预测， 可用预测方程(k?1)?17840.9746e调用MATLAB函数文件， function f2 k=input('输入k=');

y1=17840.9746*exp(0.19761*(k-1))-14181.9746; y2=17840.9746*exp(0.19761*k)-14181.9746; x=y2-y1

分别令k=10,11,12,13,14得出2011—2015年上海市的房价：

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表6 上海市2011—2015房价预测值

年份 房价 2011 23080 2012 28122 2013 34267 2014 41754 2015 50876 预测结果可以看出，未来5年上海市的房价仍然保持上涨趋势，且上升速度有所加快。

2灰色预测模型的检验

当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断.

一个模型要经过多种检验才能判断其是否合理，是否有效．只有通过检验的模型才能用来做预测。从上面的数据中计算拟合值x(i)，再用后减运算还原计算得模型计算值x(k)，比较数据，结果比对如下：

?(0)?(1)上海预测房价与实际房价比较22500020000房价1500010000500002000实际房价预测房价200220042006年份200820102012

图11 表7

模型计算值

实际值 13

残差?(k?1) 相对误差?(k?1)

x(k?1) x(2)=3898 x(3)=4749.7 x(4)=5787.4 ?(0)?(0)?(0)x(0)(2)=4007 x(0)(3)=4989 x(0)(4)=6358 x(0)(5)=6698 x(0)(6)=8237 x(0)(7)=10292 x(0)(8)=13411 x(0)(9)=15800 109 239.3 597.6 -353.9 -355.7 -178 653 255 227 0.0272 0.0480 0.0936 -0.0528 -0.0432 -0.0173 0.0487 0.0161 0.0118 ?(0)x(5)=7051.9 x(6)=8592.7 x(7)=10470 ?(0)?(0)?(0)x(8)=12758 ?(0)x(9)=15545 ?(0)x(10)=18941

?(0)x(0)(10)=19168 检验模型的三种方法是：残差检验、关联度检验、均方差比检验。

这三种方法都是通过对残差的考察来判断模型的精度，其中平均相对误差和模拟误差、均方差比值要求越小越好，关联度、小误差概率要求越大越好．给定

?,?0,C0,p0的

一组取值，就确定和检验模型模拟精度的一个等级．常用的精度等级如表：

表8 精度检验等级参照表

指标临界值 精度等级 一级 二级 三级 四级 相对误差 0.01 0.05 0.10 0.20 关联度 0.90 0.80 0.70 0.60 均方差比值 0.35 0.50 0.65 0.80 小误差概率 0.95 0.80 0.70 0.60 用相对误差、关联度、均方差比进行检验。 (1)相对误差检验指标检验：

(0)(0)(0)(0)X?(x(2),x(3),...,x(10)) 原始时间序列

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