2014年高考文数专题复习：解答题（二） - 图文(8)

17．（本小题满分12分）如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，

?ADE?90?，AF//DE，DE?DA?2AF?2．

（Ⅰ）求证：AC//平面BEF； （Ⅱ）求四面体BDEF的体积．

E

D F C

A B

18．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般

情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（Ⅰ）当0?x?200时，求函数v(x)的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)?x?v(x)可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

19．（本小题满分12分）已知函数f(x)?cos?x?（Ⅰ）求函数y?f(x)图像的对称轴方程；

（Ⅱ）求函数h(x)?f(x)?g(x)的最小正周期和值域．

20．（本小题满分13分）已知函数f(x)?x?ax?b (a,b?R) 的图像经过坐标原点，且

22??π?1，g(x)?1?sin2x． ?12?2f?(1)?1，数列{an}的前n项和Sn?f(n)(n?N?)．

（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足lon3bn?an?1?log3n, 求数列{bn}的前n项和．

21．（本小题满分14分）设函数f(x)?x(x?1)?m,g(x)?lnx．

（Ⅰ）当m?0时，求函数y?f(x)在[0,m]上的最大值；

（Ⅱ）记函数p(x)?f(x)?g(x)，若函数p(x)有零点，求m的取值范围．

答案：

16．（本小题满分12分）在?ABC中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，量?m??(cosB,sinC)，?n?(cosC,?sinB)，且m??n??12 ．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a?23，?ABC的面积S?3，求b?c的值．

解：（Ⅰ）∵?m???n?? ?12，

∴cosB?cosC?sinB?sinC?12，??????2分

即cos(B?C)?12，∴cos(??A)?12，??????????4分

∴cosA??12．

又A?(0,?)，∴A?2?3．??????????6分

（Ⅱ）S112??ABC?2bc?sinA?2bc?sin3?3， ∴bc?4． ??????????8分

又由余弦定理得：

若向

a2?b2?c2?2bccos22??b2?c2?bc，??????????10分 3∴12?(b?c)?bc，∴b?c?4．??????????12分

17．（本小题满分12分）如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，

?ADE?90?，AF//DE，DE?DA?2AF?2．

（Ⅰ）求证：AC//平面BEF；

（Ⅱ）求四面体BDEF的体积．

（Ⅰ）证明：设AC?BD?O，取BE中点G，

E G //1DE． F 连结FG,OG，所以，OG? D C 2O //OG， 因为AF//DE，DE?2AF，所以AF?A B

从而四边形AFGO是平行四边形，FG//AO． ??????????2分

因为FG?平面BEF,AO?平面BEF, ??????????4分 所以AO//平面BEF，即AC//平面BEF． ??????????6分 （Ⅱ）解：因为平面ABCD?平面ADEF，AB?AD,

所以AB?平面ADEF． ??????????8分 因为AF//DE,?ADE?90,DE?DA?2AF?2，

?1?ED?AD?2， ??????????10分 214所以四面体BDEF的体积?S?DEF?AB?． ??????????12分

33所以?DEF的面积为

18．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般

情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（Ⅰ）当0?x?200时，求函数v(x)的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)?x?（精确到1辆/小时） v(x)可以达到最大，并求出最大值．解：（1）由题意：当0?x?20时，v(x)?60；

当20?x?200时，设v(x)?ax?b. ??????????2分

1?a??,??200a?b?0,?3再由已知得?解得? ??????????4分

?20a?b?60.?b?200.?3??60, 0?x?20,?故函数v（x）的表达式为v(x)??1??????6分

(200?x), 20?x?200.??3?60x, 0?x?20,?（2）依题意并由（1）可得f(x)??1， ????8分

x(200?x), 20?x?200.??3 当0?x?20时，f(x)为增函数．故当x=20时，其最大值为60×20=1200；

11x?(200?x)210000x(200?x)?[]?. 3323 当且仅当x?200?x，即x?100时，等号成立．

10000 所以，当x?100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值． ?10分

310000 综上，当x?100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值?3333．

3 当20?x?200时，f(x)?即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． ??????????12分 19． （本小题满分12分）已知函数f(x)?cos?x?（Ⅰ）求函数y?f(x)图像的对称轴方程；

（Ⅱ）求函数h(x)?f(x)?g(x)的最小正周期和值域． 解：（I）由题设知f(x)?令2x?2??π?1，g(x)?1?sin2x． ?12?21π[1?cos(2x?)]．??????????2分 26π?kπ， ?????????4分 6kπ π所以函数y?f(x)图像对称轴的方程为x?． ?????6分 ?（k?Z）

212（II）h(x)?f(x)?g(x)?1?π??1?1?cos2x??1?sin2x ???2?62??????31??π??31?31cos2x??sin2x??cos2x?sin2x? ????????2??6?2?22?2?21π?3??sin?2x???．??????????10分 2?3?2所以，最小正周期是T??，值域[1,2] ． ??????????12分

20．（本小题满分13分）已知函数f(x)?x?ax?b (a,b?R) 的图像经过坐标原点，且

2f?(1)?1，数列{an}的前n项和Sn?f(n)(n?N?)．

（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足lon3bn?an?1?log3n, 求数列{bn}的前n项和． 解：（Ⅰ） ∵y?f(x) 的图像经过坐标原点，?f(x)?x?ax 由f'(x)?2x?a得f'(1)?2?a?1，?a?1，

2?f(x)?x2?x ??????????3分 ?Sn?n2?n

2?an?Sn?Sn?1?n2?n??(n?1)?(n?1)????2n?2,?n?2? ?????5分

?a1?S1?0，所以数列{an}的通项公式为an?2n?2,?n?N?? ??7分

（Ⅱ）由lon3bn?an?1?log3n，得

bn?n?32n(n?N?)

?????9分

?Tn?b1?b2?b3?Tn?b1?b2?b3???bn?1?32?2?34?3?36???n?32n

（1）

9Tn?34?2?36?3?38???n?32n?2 （2）

（2）-（1） 得 8Tn?n?32n?2?9?(3?3???3)?n?3462n2n?232n?2?34?,

8n?32n?232n?81(8n?1)32n?9??∴Tn? 8646413分

??????????

21．（本小题满分14分）设函数 f(x)?x(x?1)?m,g(x)?lnx（Ⅰ）当m?0时，求函数y?f(x)在[0,m]上的最大值；

（Ⅱ）记函数p(x)?f(x)?g(x)，若函数p(x)有零点，求m的取值范围． 解：（1） f(x)?x(x?1)?m＝x?x?m?(x?)?m?212214

)m当 0?m?1 时， f(x)??????????3分 max?f(0?

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