组合数学第2章答案(5)

q?2q?3?0

2 （２）

则：q1?3 q2??1

则（１）的通解为：Aq1n?Bq2n

因为：a0?1,a1?2 所以有： y0?0,y1?1

A?1434则：

?A?B?0 ?3A?B?1? 解得：

B?

所以：yn??3n??(?1)n

4413又因为： yn?log2an 所以：an?an?1an?2的解：

1 an?22.31

解：

yn?24?3?n34?(?1)n

an?an?1/an?2,即an*an?2?an?1两边取对数，log2n?12log2n?2?7log2n?1,设log2n?q,上式等于q?7qnn712n127aaaann?1?12qn?2?0,特征方程为q?7q?12?0,ann2(q?3)(q?4)?0,q1?3,q2?4,通解的形式为：log2n?A*3?B*4,?an?2A*3?B*4,由已知a0?1,有2A??1B?1A?Bn?1,由a1?2,有2n3A?4B?2.综合以上，有?

A?B?03A?4B?1,解这个方程，?,?an?2?3?42.32 解下列递推关系： （a）an = na n-1, a0 = 1,an = ? 解： n： an = na n-1 n(n-1)： an-1= (n-1)a n-2 n(n-1)(n-2)： an-2= (n-2)a n-3 n(n-1)(n-2)(n-3)： an-3= (n-3)a n-4 … … … … …

n(n-1)(n-2)(n-3) …3： a2 = 2a 1 把等式左右两端相加化简得：

an = n(n-1)(n-2)(n-3) …3·2·a 1 an = n!a1 an = n!

（b）an - a n-1 =1, a0 = 7

2n解：

an - a n-1 =1

2n

①

an-1-a n-2=(1)n-1

212 an-1 -

12a n-2=(1)n

232②

①-②得 an -

an-1+1 a n-2=0

232特征方程 q2-

q+

12 =0

q1=1,q2=1

212an =A +B(

152) n

a0 =7,a1= 7=A+B

152

A=8

=A+

B2 B=-1

an =8 - (1) n

2

（c）an - a n-1= 解： an - a n-1=

13n13n

13 ）n-1

13 ①

an - a n-1=（

13an-1 -

13a n-2=（

）n②

①-②得 an -4 an-1+1 a n-2=0

3313

特征方程 q2-4 q+

3 =0

q1=1,q2=1

313an =A +B(

) n

2.33F0F1F2是Fibonacci序列，求解an?解：FN?2FN?1?

2a?Fn?1n?1F2n?1

(FN?1?FN)(FN?1?FN)?FF

N2N?12?N?1F2N?1

a?ann?1n?1?F??N?12Na?a……….

……….

n?2F?F

a?a10?FF2N?122?F

02+

a?an0?2?N?1F令a0?1,F0?1

02则an?F

令G(X)?F0?FX1?FX22....

N?1得FN?1?1(1?5525))

2N?2则aN?1(1?5

22.34 an= an-1+C(n+2,3), a0=0,求an。

解：由已知递推关系，可得： an-an-1= (n+23) （1） an-1-an-2= (n+13) （2） …………………… a2- a1= (43) (n-1) a1-a0= (33) (n) 将1，2，3.。。。。n以上n个式子累加，可得： an-a0= (n+23) + (n+13) + …….. + (43) + (33),

由于(n+23) + (n+13) + …….. + (43) + (33)= (n+2n-1) + (n+1n-2) + …….. + (41) + (30)=

(n+3n-1)

有因为a0=0,代入可得，

an= (n+3n-1). 2.35

an?an-1?n???? 4? 3????，a0?0，求an3??? ?

n

解： x：an?an-1?n???? 4? xn-1：an-1?an-2??? 4??

??xn-2?n?2??n?1?：an-2?an-3??? 4?????

有（1-x）G(x)=????n?3?n?x?n?0? 4?

当G(x)乘4次（1-x） 有 （1-x）

5?n-1?G(x)=??? 0??

n?0???xn

（1-x）5G(x)=1/(1-x) G(x)=1/（1-x）6 有六重根，因此设置形式为

an?(A?Bn1?Cn2?Dn3?En4?Fn5) 带入即可解出an的表达式。 2.36 利用迭代法解： (1)

an?3an?1?3?1,a0?0n

(2)

an?4an?1?4,a0?0n

解：（1）

a0?0a1?3a0?3?1a2?3a1?3?1?3(3a0?3?1)?3?1?3a0?2*3?3?1a3?3a2?3?1?3(3a0?2*3?3?1)?3?1?3a0?2*3?3?1222233212221

…

若an?1?3n?1a0?2*3n?1?3?1，则

an?3an?1?3?1 ?3a0?2*3?3?1

nnn（2）an?4an?1?4n

a0?0

a1?4a0?4

a2?4a1?4?4(4a0?4)?4?4a0?2*43223322223

a3?4a2?4?4(4a0?2*4)?4?4a0?3*4...若an?1?4n?1a0?(n?1)*4n?1，则

an?4a0?n*4nn

2.37 利用置换an?b2,解： n an=?2an?1?3an?2? ，a0=1,a1= 4

2 解：把an?b2代入等式，即 n b?2b2n?2n?1?3b2n?2?

2 bn?2bn?1?3bn?2 → bn?2bn?1?3bn?2?0 特征方程为: x2?2x?3??x?3??x?1? 特征根为 x1?3 x2??1 bn?Ax1n?Bxn 2 带入初值：?3?A???4 得?

?B?1?4??A?B?1?3A?B?2

an?b2n?3n1n????3?(?1)?

4?4?22.38 理由置换an?n!bn，解：an?2nan?1?7n!，a0?1

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