组合数学第2章答案

组合数学第2章答案

2.1 求序列{0，1，8，27，…n3…}的母函数。 解：

G?x??a0?a1x?a2x?a3x???anx??23nG?x??0?x?8x?27x???nx??233n

an?n33 an?1??n?1?

an?4an?1?6an?2?4an?3?an?4?0 左右同乘再连加：

x:x:54a4?4a3?6a2?4a1?a0?0a5?4a4?6a3?4a2?a1?0? ?xn?1

:an?1?4an?2?6an?3?4an?4?an?5?0an?4an?1?6an?2?4an?3?an?4?036?20x?6x2x:n 母函数：G?x???x?1?4

4n?32.2 已知序列{?3,,……,?3?,……}，求母函数。 3??3?解：?1(1?x)n?n?1) ，对于本题，n=4， 的第k项为：(kn?1?母函数为：

1(1?x)4

3?78x1?3x?54x22.3 已知母函数G（X）=

,求序列{ an }

B(1?6x) 解：G（X）=

3?78x(1?9x)(1?6x)=

A(1?9x)?

从而有：

?A?B?3?A?7???6A?9B?78??B??4

G（X）=

7(1?9x)??4(1?6x)

G（X）=7(1?9x?92x2?93x3??)-

4(1?(-6)x?(-6)2x2?(?6)3x3??)

an=7*9n?4*(?6)n 2.4．已知母函数

3?9x1?x?56x2，求对应的序列?an?。

3?9x解：母函数为G(x)?1?x?56x2?3?9x(1?7x)(1?8x)

令G(x)?A1?7x?B1?8x

A(1?8x)?B(1?7x)?3?9x ??A?B?3??8A+7B?=

9解得：A=2 B=1 所以 G(x)?21?7x?11?8xn??i?2*?(?7x)?i?0?(8x)

ii?0an?2*(?7)?8n

2.5 设Gn?F2n，其中Fn是第n个Fibonacci数。证明：Gn?3Gn?1?Gn?2?0，

n=2，3，4…。求{G0,G1,G2,?}的母函数。 解：设H(x)?G0?G1x?G2x2?G3x3??，则

H(x)?G0?G1x?G2x2?G3x3?G4x4? ……① 3xH(x)?3G0x?3G1x2?3G2x3?3G3x4?? ……② x2H(x)?G0x2?G1x3?G2x4?? ……③ ①-②+③，得：

?1?3x?x2?H(x)?G0?G1x?3G0x 又已知 Gn?F2n，则 G0?F0?0，G1?F2?1 所以，H(x)?x1?3x?x2?(x3?25?x)(3?25?x)

设H(x)?A3?25?x?B3?25?x，则可列出方程组：

?A?B?1? ?3?5 ，解得 3?5A?B?0?2?2?5?35A???10?5?35?B??10?

那么，

H(x)?(5555?A3?23?25)(1?53?2i5?x)?B(3?255)(1?i3?25x)????(i?0x)?55?(i?03?2x)

??i?0?3?5i3?5i?i()?()?x?22??2. 6 求序列{1，0，2，0，3，4，0，……}

解：?G(x)=1+0*x+2*x2+0*x3+3*x4+0*x3+0*x5+4*x6+ …… =1+2x2+3x4+4x6+ ……

?x2G(x)= x2+2x4+3x6+ ……

2?（1-x）*G（x）=1+x2+x4+x6+……

2?（1-x）*G（x）=?(2???ej??vj?vsj?s?vj?v2????aij)?11?x2

vj?vsj?s?G（x）=

1(1?x)22

2.7 设G?1?2x2?3x4?4x6?....?(n?1)x2n?....求(1?x2)G,(1?x2)2G。 题解：

G?1?2x?3x?4x?....?(n?1)x224682462n2n?....(1)?(n?1)x2n?2xG?x?2x?3x?4x?....?(n)x?....(2)

（1）-（2）得：G?x2G?1?x2?x4?x6?....?(n)x2n?....

(1?x(1?x2

G)?21?x2n2n21?x

2)G??1x2.8 求下列序列的母函数： （1）1，0，1，0，1，0….. （2）0，-1，0，-1，0，-1……. （3）1，-1，1，-1，1，-1……

题解：（1）带入母函数公式得：G(x)?1?x?x?x?....?x2462n?....?1?x2n21?x

2n2 （2）带入母函数公式得：G(x)??(x?x?x?....?x1352n?1?....)?x(1?x)

2n （3）有（1）和（2）相加得到：

1?x1?x

2. 9 设G=1+3x+6x2+10x3+ ……+C（n+2，2）xn+…… 证明：（1）（1-x）G=1+2x+3x2+4x3+ ……+（n+1）xn+…… （2）（1-x2）G=1+x+x2+x3+ ……+xn+…… （3）(1?x)3G=1

证：?G=1+3x+6x2+10x3+ ……+C（n+2，2）xn+…… ? xG= x+3x2+ 6x3+……

? x2G= x2+ 3x3+……

?（1-x）G=1+2x+3x2+4x3+ ……+（n+1）xn+……

?（1-x2）G=1+x+x2+x3+ ……+xn+……

(1?x)3G=(1-x)(1-x)(1-x)G逐步相乘，根据以上两式可得 (1?x)3G=1

2.10

H?1?4x?10x2?20x3?????n?3??3?n?x???

?证明：（a）(1?x)H?G????n?2??2?n?xn?0??

(b)求H的表达式。

证明：（a）H?1?4x?10x2?20x3?????n?3???xn???3?? 1?x……①

?n?2?n23?xH?x?4x?10x?????3?x???? ……②

①-②，得

??n?3??n?2??n23??(1?x)H?1?3x?6x?10x????? ?3????3??x?? ?????? 由组合的性质

?n?3??n?2??n?2??????3????3????2? ??????

?n??n?1??n?1????r?????r????r?1????????，所以

那么，(1?x)H?G?1(1?x)2?n?2?n????2?xn?0???23，得证。

（b）设

B(x)??1?2x?3x?4x???(n?1)x??，B

n对应的

序列为{b0,b1,b2?,bn,?}。

??n?3??n?2??n??根据（a），得G?1?3x?6x?10x??????3????3??x??，??????23k设G对应的序列为{g0,g1,g2?,gn,?} ，则gk?B(x)1?x1(1?x)3?b，根据母函数

ii?0G(x)?性质有，

?H?，那么，根据（a），

G(1?x)?1(1?x)4。

?2.11．an?(n?1),G?2?an?0nx?1?4x??(n?1)x??,证明(1?3x?3x?x)Gn2n23是

一个多项式，并求母函数G。

解：由题知：an?an-1?(n+1)2?n2?2n?1 (1)

?a an-1n-2?2(n?1?)1=?2n 1 (2)

?a(1)-(2)得： an?2an-1??2an?a an-1-2?n?22

(3) (4)

n?3 2

(3)-(4) an?3an-1?3an?2?an?3?0 (5)

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