组合数学第2章答案(3)

④

8x2G(x)= 8a0x2+8a1x3+… 相加得

G(x)=a0+(a1-6a0)x/1-6x+8x2

设p(x)=a0+(a1-6a0)x,由于p(x)/r(x)是有理分式,多项式p(x)的次方低于r(x)的次方,则p(x)/r(x)可化为部分式来表示,且表示式是唯一的.

⑤

⑥

⑦

⑧

则 G(x)=p(x)/1-6x+8x2=(A/1-2x) +(B/1-4x)

=A(1+2x+(2x)2+(2x)3+…)+B(1+4x+(4x)2+(4x)3+…) 则一般通解为

⑨

nn an=A*2+B*4

②. an+14an?1+49an?2=0

解:设G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+… 14xG(x)= 14a0x+a1x2+a2x3+… 49x2G(x)= 49a0x2+49a2x3+…

相加得(同上题) G(x)=p(x)/1+14x+49x2=(A/1-7x) +(B/(1-7x)2) G(x)=A(1+7x+(7x)2+…)+B(1+2(7x)+3(7x)2+…) 则一般通解为: an=A*7n+B*n*7n ③ an-9an?2=0

解: 设G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+… -9x2G(x)= -9a0x2-9a1x3-…

同上题,相加得: G(x)=(a0+a1x)/(1-9x2)=p(x)/1-9x2=(A/1-3x)+(B/(1+3x)) G(x)=A(1+3x+(3x)2+(3x)3+…)+B(1+(-3x)+(-3x)2+…)

则一般通解为: an=A*3n+B*(-3)n

④ an-6an?1-7an?2=0

解:设 G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+… -6xG(x)= -6a0x-6a1x2-6a2x3+… -7x2G(x)= -7a0x2-7a1x3+… 同上题,相加得

G(x)=(a0+a1x-6a0x)/(1-6x-7x2)=A/(1-7x)+B/(1+x)

=A(1+7x+(7x)2+…)+B(1+x+x2+…)

则一般通解为: an=A*7n+B*1n

⑤ an-12an?1+36an?2=0

解:设 G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+… -12xG(x)=-12a0x-12a1x2-12a2x3+… 36x2G(x)= 36a0x2+36a1x3+…

同上题,相加得

G(x)=(a0+a1x-12a0x)/(1-12x+36x2)=A/(1-6x)+B/(1-6x)2 G(x)=A(1+6x+(6x)2+…)+B(1+2(6x)+3(6x)2+…) 则一般通解为: an=A*6n+B*n*6n ⑥ an-25an?2=0

解: 设G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+… -25x2G(x)=-25a0x2-25a1x3-… 同上题,相加得

G(x)=(a0+a1x)/(1-25x2)=p(x)/1-25x2=(A/1-5x)+(B/(1+5x)) G(x)=A(1+5x+(5x)2+(5x)3+…)+B(1+(-5x)+(-5x)2+…) 则一般通解为: an=A*5n+B*(-5)n 2．20 已知an?2an?1?an?2?0， （1）求一般解：

（2）求满足a0?0，a1?1的特解。 （3）求满足a0?a1?2的特解。

解：（1） 特征方程： x2?2x?1?0，根q?2?4?42?2?222?1?2，则

通解：A（1?012）+B（1?2）

1020121?2??24 （2） A?11?11?21?24，B?1?11?

21?24224 特解：(1?2)?(1?2)?1

212121?2?1，B?11?11?2)?22 222121?2?1

（3）A?11?21? 特解：(1?2)?(1?2.21 已知an?c?5n?d?(?4)n，c和d为常数，n?N，求a0?5,a1??2时c和d及序列的递推关系。 答案：

将a0?5,a1??2代入an中得 c+d

和5c-4d=-2 ?c=2，d=3?an?2?5n?3?(?4)n

an?1?2?5n?1?3?(?4)n?1

n?1

因为

an?5an?1=?27?(?4) ? an?1?5an?2=?27?(?4)n?2

所以 an?5an?1+4(an?1?5an?2)=0

? an?1?an?2?20an?2?0

2.22 已知an=c·3n+d·(-1)n,n?N,c,d是常数,求{an}满足的递推关系。 解: 等式为an?Ax1n?Bxn形式 2 ∴3和-1为特征根

特征方程为 x2?2x?3?0 ∴an?2an?1?3an?2?0

2.23 an?(k1?k2n)(?3)n，k1和k2是常数，n?N，求?an?满足的递推关系 2.24 设an-2an?1+an?2=5, a0=1, a1=2,求解这个递推关系。 解： 首先解得a2=8

an-2an?1+an?2=5 （1） an?1-2an?2+an?3=5 （2） （1）-（2）

an-3an?1+3an?2-an?3=0

建立特征方程为： x3-3x2?3x-1?0

解这个方程得：x1? 1 x2?-1 x3?1/3 设 an=A(1)n+B(-1)n+C(1/3)n a0=A+B+C

a1=A-B+(1/3)C a2=A+B+(1/9)C

解得A= 2 B= 7 C= -9

an=2(1)n+7(-1)n-9(1/3)n

2.25 设{an}序列的母函数为：

(4-3x)/(1-x)(1+x-x3), 但b0=a0,b1=a1-a0 …….bn=an-an-1,求序列{bn}的母函数. 解：设{bn}的母函数为B(x),

所以B(x)= b0 + b1 x +……+ bn xn

又因为已知b0=a0,b1=a1-a0 …….bn=an-an-1,，代入B(x)，可得： B(x)= a0 + (a1-a0) x+…….. (an-an-1) xn

B(x)= a0+ a1 x+……an xn-x(a0+ a1 x+……)

又因为{an}序列的母函数为 (4-3x)/(1-x)(1+x-x3),代入B(x)，得， B(x)=(4-3x)/(1+x-x2) 2.26 设G=

a120?a1x?a2x?a3x?且a0?1，

aaG2n?a0n?1?a1an?2?....?an?1a0,试证1+x=G

解：要证 1+xG2=G

即证G—1= xG2

a0?1

? G—1=

a11x?a2x?ax23?

an?a0an?1?a1an?2?....?an?1a0,

X:

a1?a0a0

X2: a2?a0a1?a1a0

X3:

a3?a0a2?a1a1?a2a0

.

. .

+___________________________________________ G—1=a30xG+a21xG

+a2xG….

提出G即得：G—1= xG2

1+xG2=G

2.27 求下列递推关系的一般解： （1）an - 4an-1=5n

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