(5)式即为an的递推关系。 所以序列{an}的特征多项式为： C(x)=x3?3x2?3x?1 又母函数可表示为
G(x)?13,其中R(x)=xC(),C(x)为序列?an?的特征多项式 R(x)x1x)=x(3P(x) R(x)=x3C(1x3?3x2?3x?1)?1?3x?3x?x2 3因此(1?3x?3x2?x3)G(x)?P(x)，P(x)是最高项次数不超过2的多项式，即证。
G(x)?P(x)R(x)?P(x)xC()x31?P(x)(1?x)3?A1?x?B(1?x)2?C(1?x)3
其中a0?1,a1?4,a2?9
?A?B?C?1?解方程组：?A?2B?3C?4 解得：A?0,B??1,C?2
?A?3B?6C?9?所以G(x)?
2(1?x)3?1(1?x)2?x?1(1?x)3
n?12.12 已知an?解：
?k?1k,21?x(1?x)3???n?0(n?1)x,求序列{an}的母函数。
2n?设：bn?(n?1) , B(x)?k?12?(n?1)n?02xn?ak??bl?1l? 由母函数的性质又?B(x)??A(x)?1?x(1?x)4 3 得： A(x)? B(x)/(1-x)?3
??n?0(n?1)x2n1?x(1?x)n?12.13 已知an??kk?13,1?4x?x(1?x)42???(n?1)n?03x,求序列{ an}的母函数。
n解：
1:a0?1333x:a1?1?2
…… ……
x:an?1?2???(n?1)n333
---------------------------------------------- G（x）=
(1?x?x??)?2x(1?x?x??)?3x(1?x?x??)?(11?x)(1?2x?3x??)223232332
?1?4x?x(1?x)4???(n?1)n?023x,
n?G(X)?1?4x?x(1?x)5,
x1?2x?x22.14 已知?pn?的母函数为 ?1?求p0,p1：
，
x?2x?5x?1?2x?x223xx?2x?x2x?x223232x?4x?2x5x?2x3434 解：
5x?10x?5x?345
?p0?0,p1?1。 ?2?求序列?pn?的递推关系。
G?x??x1?2x?x22(1?2x?x)G?x??xG?x??2xG?x??xG?x??x2(G?x??x)?2xG?x??xG?x??02 解：(G?x??a1x?a0)?2xG?x??x2G?x??0
x:x?x:2n?1nan?2an?1?an?2?0:an?1?2an?2?an?3?0?a2?2a1?a0?0 因而：递推关系为： an?2an?1?an?2?0 2.15 已知{an}的母函数为
11?x?x211?x?x2，求序列{an}的递推关系，并求a0,a1.
解：
?1x?x?12
c1= -1，c2=1
则其特征多项式为：C（x）=x2-x+1 与其对应的递推关系为：an-an-1+an-2=0
11?x?x2?1?3iA1?23ix?1?B1?2x)?13ixA(1?1?21x)?B(1?1?1?213i3i1?A?令??11?x?x23i21?2 B?3i，??21?222223i
?A(1??x??x??)?B(1??x??x??)a0?A?B?1a1?A??B??12.16 用数学归纳法证明序列
?m??m?1??m?2??m?n?,,,...,????????,... ?m??m??m??m? 的母函数为 (1?x?)m?1
解： 当m=1时，??,??,??,...,??1??1??1??1??2??3??1?n??,...的母函数就等于 ?1?
?1??2??3?2?1?n?nG(x)??????x???x?...???x,... ?1??1??1??1??1?2x?3x?...?(n?1)x?...?(1?x)2n?2 假设当m=k时成立，即
?kGk(x)???k??k?1??k?2?2?k?n?n?k?1 ?x?x?...????????x,...?(1?x)kkk??????? （1）
当m=k+1时
?kGk?1(x)???k??k?1??k?2?2?k?n?n?k?1?x?x?...? （2） ???????x,...?(1?x)??k??k??k??n??n?1???????r??r?1?k?r??r?1?因为??????...?rr????，所以（2）里的bk??a，b为
lkl?0（2）
对应的序列，al为（1）对应的序列。 所以由性质3得
Gk?1(x)?Gk(x)/(1?x)Gk?1(x)?(1?x)?k?1
?k?2/(1?x)?(1?x)
所以命题得证
2.17：已知G=1+2X+3X2 +……+（n+1）xn+…… 证明(1) G2 =（1-X）-4=
(2) G2=
Xn,其中an=
Xn，
，
(3) an=C(n+3,3),n{0.1.2.3…….}
解：设T=x+x2+x3+x4….. =x/(1-x)
T’=1+2X+3X2 +……+（n+1）xn+……=1/(1-X)2=G 所以G2 =（1-X）-4，
又因为G2 =（1+2X+3X2 +……+（n+1）xn+……）（1+2X+3X2 +……+（n+1）xn+……）=G1×G2
所以在G2 中xn的系数由(n+1)部分组成：
如果G1中取的因子为xk 那么G2中只能去Xn-k,只有这样G1×G2后才能
，
得出xn
所以K从0取到n，一共有(n+1)部分组成，当K取0时G1因子的系数为
（K+1），G2因子的系数为(n-k+1)，乘后的系数为（K+1）×(n-k+1)。所以
G2 =
Xn ，an=
所以（2）得证。
现在证（3），用数学归纳法： 1）a0 =
= C(0+3,3)=1
2）假设an=C(n+3,3)成立，即an=3）证明an+1=C(n+1+3,3)成立， an+1=
= C(n+3,3)
=[1*(n+1+1-0)+2*(n+1+1-1)+ 3*(n+1+1-2)+ 4*(n+1+1-3)……(n+1+1)*(1)]
=[1*(n+2)+2*(n+1)+3*(n)……+(n+2)*1]
=[1*(n+1)+1+2*(n)+2+3*(n-1)+3……(n+1)(1)+(n+1)+ (n+2)*1] =[1*(n+1)+ 2*(n) +3*(n-1)…. (n+1)(1)]+[1+2+3+……(n+1)+(n+2)]
=
+[1+2+3+……(n+1)+(n+2)]
=an +
= C(n+3,3)+C(n+3,2) = C(n+4,3)
所以（3）得证。
因为an=C(n+3,3),n{0.1.2.3……}，又根据（2）。 所以（1）得证。
2.18 用母函数法求下列递推关系的一般解 ① an-6an?1+8an?2=0
②
解:设G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+… -6xG(x)= -6a0x-6a1x2-6a2x3-…
③
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库组合数学第2章答案(2)在线全文阅读。
相关推荐：