人教版初中数学中考经典好题难题(有答案)(5)

（3）利用（2）的解题结果x=﹣1，再根据两根之积等于﹣解析式． 解答： 解：（1）根据题意，得 22△=（m﹣2）﹣4×（m﹣1）×（﹣1）＞0，即m＞0 解得，m＞0或m＜0 ① 又∵m﹣1≠0， ∴m≠1 ② 由①②，得 m＜0，0＜m＜1或m＞1． 证明：（2）由y=（m﹣1）x+（m﹣2）x﹣1，得 y=[（m﹣1）x﹣1]（x+1） 抛物线y=[（m﹣1）x﹣1]（x+1）与x轴的交点就是方程[（m﹣1）x﹣1]（x+1）=0的两根． 解方程，得， 2是整数，得出m的值，进而得出平移后的由（1）得，x=﹣1，即一元二次方程的一个根是﹣1， ∴无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点（﹣1，0）． （3）∵x=﹣1是整数， ∴只需﹣是整数． 2∵m是整数，且m≠1，m≠0， ∴m=2， 2当m=2时，抛物线的解析式为y=x﹣1， 把它的图象向右平移3个单位长度， 则平移后的解析式为y=（x﹣3）﹣1． 2点评： （1）在解一元二次方程的根时，利用根的判别式△=b﹣4ac与0的关系来判断该方程的根的情况； （2）用十字相乘法对多项式进行分解，可以降低题的难度； （3）函数图象平移规律是向右或向左平移时X=|x+d|；向上或向下平移时Y=|y+d|． 12．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD． （1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC= 45° ； （2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；

222

（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD=4AH+BC时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．

2

考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质。 专题： 计算题。 分析： （1）由AC=AD得∠D=∠ACD，由平行四边形的性质得∠D=∠ABC，在△ACD中，由内角和定理求解；

（2）如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE； （3）∠DAC=2∠ABC成立，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，利用内角和定理证明结论． 解答： 解：（1）45； （2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连接BE和CE． ∵△ACD是等边三角形， ∴AD=AC，∠DAC=60°． ∵∠BAE=60°， ∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC． 即∠EAC=∠BAD． ∴△EAC≌△BAD． ∴EC=BD． ∵∠BAE=60°，AE=AB=3， ∴△AEB是等边三角形， ∴∠EBA=60°，EB=3， ∵∠ABC=30°， ∴∠EBC=90°． ∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4， ∴EC=5． ∴BD=5． （3）∠DAC=2∠ABC成立， 以下证明： 如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK． ∵AH⊥BC于H， ∴∠AHC=90°． ∵BE∥AH， ∴∠EBC=90°． ∵∠EBC=90°，BE=2AH， 22222∴EC=EB+BC=4AH+BC． 222∵BD=4AH+BC， ∴EC=BD． ∵K为BE的中点，BE=2AH， ∴BK=AH． ∵BK∥AH， ∴四边形AKBH为平行四边形． 又∵∠EBC=90°， ∴四边形AKBH为矩形． ∴∠AKB=90°． ∴AK是BE的垂直平分线． ∴AB=AE． ∵AB=AE，EC=BD，AC=AD， ∴△EAC≌△BAD． ∴∠EAC=∠BAD． ∴∠EAC﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD． 即∠EAB=∠DAC． ∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角，

∴∠ABC=90°﹣∠EBA． ∵AB=AE， ∴∠EBA=∠BEA． ∴∠EAB=180°﹣2∠EBA． ∴∠EAB=2∠ABC． ∴∠DAC=2∠ABC． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形． 13．已知关于x的方程mx+（3﹣2m）x+（m﹣3）=0，其中m＞0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若

，求y与m的函数关系式；

2

（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y≤﹣m成立的m的取值范围．

考点： 根的判别式；根与系数的关系；反比例函数的图象。 专题： 证明题；代数综合题。 分析： （1）本题需先求出△的值，再证出△＞0，即可得出结论． （2）本题需先求出x的值，再代入y与x的关系式即可得出结果． （3）本题需先分别画出反比例函数和正比例函数的图象，再根据图象即可求出使不等式y≤﹣m成立的m的取值范围． 2解答： （1）证明：由题意可知，∵△=（3﹣2m）﹣4m（m﹣3）=9＞0， 即△＞0． ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由求根公式，得∴∵m＞0，

． 或x=1．

∴∵x1＞x2， ∴． ． ∴． 即为所求． （3）解：在同一平面直角坐标系中 分别画出与y=﹣m（m＞0）的图象． 由图象可得，由图象可得 当0＜m≤1时，y≤﹣m． 点评： 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，在解题时要注意综合应用根的判别式与反比例函数的关系式本题的关键． 14．已知：关于x的一元二次方程x+（n﹣2m）x+m﹣mn=0① （1）求证：方程①有两个实数根； （2）若m﹣n﹣1=0，求证：方程①有一个实数根为1；

22

（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a．当x=2时，关于m的函数y1=nx+am与y2=x+a（n﹣2m）x+m﹣mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y1、y2的图象分别交于点C、D．当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值．

2

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考点： 二次函数综合题；根的判别式。 专题： 综合题。 分析： （1）直接运用判别式进行判断； （2）由已知得n=m﹣1，代入方程，将方程左边因式分解求x的值即可； （3）由（2）可知a=m，n=m﹣1，把x=2代入y1、y2中，得y1=y2，列方程求m、n的值，再分别求抛物线解析式及直线AB解析式，设平行于y轴的直线L解析式为x=h，代入直线AB和抛物线解析式，求C、D两点纵坐标，表示线段CD，利用二次函数的性质求最大值． 222解答： （1）证明：∵方程①的判别式△=（n﹣2m）﹣4（m﹣mn）=n≥0， ∴方程①有两个实数根； （2）证明：由已知得n=m﹣1，代入方程①，得 22x﹣（m+1）x+m﹣m（m﹣1）=0， 2整理，得x﹣（m+1）x+m=0，即（x﹣1）（x﹣m）=0， 解得x1=1，x2=m，即方程①有一个实数根为1； （3）解：设平行于y轴的直线L解析式为x=h， 由（2）可知a=m，n=m﹣1，把x=2代入y1、y2中，得y1=y2， 22即2（m﹣1）+m=4﹣2m（m+1）+m﹣m（m﹣1）， 2整理，得m+m﹣2=0，解得m=﹣2或1，n=﹣3或0， ①当m=﹣2，n=﹣3时，y1=﹣3x+4，y2=x﹣2x﹣2，联立∴A（﹣3，13），B（2，﹣2），直线AB：y=﹣3x+4， ∴CD=（﹣3h+4）﹣（h﹣2h﹣2）=﹣h﹣h+6，CD最大值为②当m=1，n=0时，y1=1，y2=x﹣2x+1，此时抛物线顶点在x轴上，显然CD最大值为1． 2222，解得或， =； 点评： 本题考查了二次函数的综合运用，根的判别式．关键是由已知条件，将方程、函数式变形求m、n的值，再表示函数式及线段CD． 15．如图，已知抛物线y=（3﹣m）x+2（m﹣3）x+4m﹣m的顶点A在双曲线y=上，直线y=mx+b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C． （1）确定直线AB的解析式；

（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值；

（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N在直线BG上，请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．

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