人教版初中数学中考经典好题难题(有答案)(2)

19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点． （1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1． 设CF=kEF，则k= _________ ； （2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE﹣DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

20．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．

（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；

（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）： ①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是 _________ ； ②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是 _________ ．

21．已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax﹣bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1． （1）若方程①的根为正整数，求整数k的值； （2）求代数式

的值；

2

2

（3）求证：关于x的一元二次方程ax﹣bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．

22．已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D． （1）求此抛物线的解析式及点D的坐标； （2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形； （3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P（x，0），△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

23．已知二次函数y=ax+bx+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（﹣2，﹣5）．求： （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数的最值；

（3）若设这个二次函数图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ACB是等腰三角形，求出点B的坐标．

24．根据所给的图形解答下列问题： （1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，把△ABD绕点A旋转，并拼接成一个与△ABC面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图； （2）如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；

（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论．

2

25．例．如图①，平面直角坐标系xOy中有点B（2，3）和C（5，4），求△OBC的面积． 解：过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．依题意，可得 S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD﹣S△OCE =

=×（3+4）×（5﹣2）+×2×3﹣×5×4=3.5．

∴△OBC的面积为3.5． （1）如图②，若B（x1，y1）、C（x2，y2）均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直线上．仿照例题的解法，求△OBC的面积（用含x1、x2、y1、y2的代数式表示）； （2）如图③，若三个点的坐标分别为A（2，5），B（7，7），C（9，1），求四边形OABC的面积．

26．阅读： ①按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像．如果原图形每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换．特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换．

问题1：我们学习过的平移、 _________ 、 _________ 变换都是正交变换． ②如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转n° （0＜n≤360）后，像又回到原图形占据的空间（重合），则称该变换为该图形的 n度旋转变换．特别地，具有180?旋转变换的图形称为中心对称图形． 例如，图A中奔驰车标示意图具有120°，240°，360°的旋转变换．

图B的几何图形具有180°的旋转变换，所以它是中心对称图形．

问题2：图C和图D中的两个几何图形具有n度旋转变换，请分别写出n的最小值． 答：（图C） _________ ； 答：（图D） _________ ．

问题3：如果将图C和图D的旋转中心重合，组合成一个新的平面图形，它具有n度旋转变换，则n的最小值为 _________ ．

问题4：请你在图E中画出一个具有180°旋转变换的正多边形．（要求以O为旋转中心，顶点在直线与圆的交点上） 27．已知：点P为线段AB上的动点（与A、B两点不重合）．在同一平面内，把线段AP、BP分别折成△CDP、△EFP，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D、P、F三点共线，如图所示． （1）若△CDP、△EFP均为等腰三角形，且DF=2，求AB的长； （2）若AB=12，tan∠C=，且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似，求四边形CDFE的面积的最小值．

28．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=﹣

x+

交x轴于点C，交y轴于点A．等腰直角三角板OBD的

顶点D与点C重合，如图A所示．把三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），使B点恰好落在AC上的B'处，如图B所示． （1）求图A中的点B的坐标； （2）求α的值；

2

（3）若二次函数y=mx+3x的图象经过（1）中的点B，判断点B′是否在这条抛物线上，并说明理由．

29．已知：如图，AC是⊙O的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长． （1）若∠BAC=2∠BAN，求证：MN是⊙O的切线． （2）在（1）成立的条件下，当点E是等边三角形．

的中点时，在AN上截取AD=AB，连接BD、BE、DE，求证：△BED是

30．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B、C两点．如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够． （1）写出此图中相等的线段．

（2）请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法．（写出主要解题过程）

2012年初中难题数学组卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共2小题）

1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BO1= 2 ，BOn= ．

考点： 翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。 专题： 规律型。 分析： （1）结合图形和已知条件，可以推出BD的长度，根据轴对称的性质，即可得出O1点为BD的中点，很容易就可推出O1B=2； （2）依据第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2，O1D的中点为D1，可以推出O2D1=BO2==；以此类推，即可推出：BOn=． 解答： 解：∵矩形纸片ABCD中，， ∴BD=4， （1）当n=1时， ∵第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1， ∴O1D=O1B=2， ∴BO1=2=； （2）当n=2时， ∵第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2，O1D的中点为D1， ∴O2D1=BO2===， ∵设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，

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