人教版初中数学中考经典好题难题(有答案)(3)

∴O3D2=O3B==， ∴以此类推，当n次折叠后，BOn=． 点评： 本题考查图形的翻折变换，解直角三角形的有关知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质推出结论 2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为 （3，2） ；抛物线C8的顶点坐标为 （55，

） ．

考点： 二次函数的性质。 专题： 规律型。 分析： 根据A（﹣3，0），B（0，1）的坐标求直线AB的解析式为y=x+1，因为顶点C2的在直线AB上，C2坐标可求；根据横坐标的变化规律可知，C8的横坐标为55，代入直线AB的解析式y=x+1中，可求纵坐标． 解答： 解：设直线AB的解析式为y=kx+b 则 解得k=，b=1 ∴直线AB的解析式为y=x+1 ∵抛物线C2的顶点坐标的横坐标为3，且顶点在直线AB上 ∴抛物线C2的顶点坐标为（3，2） ∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，… ∴每个数都是前两个数的和 ∴抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55 ∴抛物线C8的顶点坐标为（55，）． 点评： 此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分析归纳能力． 二．解答题（共28小题）

2

3．已知：关于x的一元二次方程kx+2x+2﹣k=0（k≥1）． （1）求证：方程总有两个实数根；

（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．

考点： 根的判别式；解一元二次方程-公式法。 专题： 计算题；证明题。 分析： （1）先由k≠0，确定此方程为一元二次方程．要证明方程总有两个实数根，只有证明△≥0，通过代数式变形即可证明； （2）先利用求根公式求出两根，x1=﹣1，的值． 解答： 证明：（1）∵k≥1， ∴k≠0，此方程为一元二次方程， ∵△=4﹣4k（2﹣k）=4﹣8k+4k=4（k﹣1）， 2而4（k﹣1）≥0， ∴△≥0， ∴方程恒有两个实数根． （2）解：方程的根为22，只要2被k整除，并且有k≥1的整数，即可得到k， ∵k≥1，∴∴x1=﹣1，， ． ∵k≥1，若k为整数， ∴当k=1或k=2时，方程的两个实数根均为整数． 2点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了解方程的方法和整数的整除性质． 4．已知：关于x的方程kx+（2k﹣3）x+k﹣3=0． （1）求证：方程总有实数根；

（2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx+（2k﹣3）x+k﹣3=0的两个实数根均为负整数？ 考点： 根的判别式；解一元二次方程-公式法。 专题： 证明题；分类讨论。 分析： （1）分两种情况讨论，当k=0时为一元一次方程，方程有一个实数根；当k≠0时，利用根的判别式计算出△＞0，得到方程总有实数根； （2）先判断出方程为一元二次方程，然后利用求根公式求出方程的两个根，再根据方程两根均为负数得出k的取值范围，从而求出k的值． 解答： 解：（1）分类讨论： 若k=0，则此方程为一元一次方程，即﹣3x﹣3=0， ∴x=﹣1有根，（1分） 若k≠0，则此方程为一元二次方程， 2∴△=（2k﹣3）﹣4k（k﹣3）=9＞0，（2分） ∴方程有两个不相等的实数根，（3分） 综上所述，方程总有实数根． （2）∵方程有两个实数根， ∴方程为一元二次方程． 2

2

∵利用求根公式，（4分）

得；x2=﹣1，（5分） ∵方程有两个负整数根， ∴是负整数，即k是3的约数 ∴k=±1，±3 但k=1、3时根不是负整数， ∴k=﹣1、﹣3．（7分） 点评： 此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要明确：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根；同时要加以灵活运用． 5．在平面直角坐标系中，将直线l：将抛物线C1：

沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，

沿x轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若线段DF∥x轴，求抛物线C2的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，求直线m的解析式．

考点： 二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质。 专题： 综合题。 分析： （1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将直线与x轴、y轴交点求出，沿x轴翻折，则直线、直线AB交同一A点，与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称，求出K和b； ，求出D点坐标，（2）设平移后的抛物线C2的顶点为P（h，0），则抛物线C2解析式为：由DF∥x轴，又点F在直线AB上，解得h的值，就能抛物线C2的解析式； （3）过M作MT⊥FH于T，可证三角形相似，得FT：TM：FM=FG：GA：FA，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，求得FN，又由，求得k，故能求得直线m的解析式． 解答： 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b， 将直线与x轴、y轴交点分别为（﹣2，0），（0，），

沿x轴翻折，则直线∴A（﹣2，0）， 与y轴的交点（0，∴B（0，）， ）与点B关于x轴对称， 、直线AB与x轴交于同一点（﹣2，0）， ∴， 解得，， ； ∴直线AB的解析式为 （2）设平移后的抛物线C2的顶点为P（h，0）， 则抛物线C2解析式为：∴D（0，∵DF∥x轴， ∴点F（2h，）， ）， =， 又点F在直线AB上， ∴解得h1=3，， ， 或； ∴抛物线C2的解析式为 （3）过M作MT⊥FH于T，MP交FH于N

∴Rt△MTF∽Rt△AGF． ∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5， 设FT=3k，TM=4k，FM=5k． 则FN=∴∵又∴解得． ． 或k=2（舍去）． ，MT=，GN=4，TG=． ﹣FM=16﹣5k， ． =48， ∴FM=6，FT=∴M（，）、N（6，﹣4）． ． ∴直线MN的解析式为：点评： 本题二次函数的综合题，涉及的知识有求直线的解析式和抛物线关系式，三角形相似等． 6．已知：关于x的一元二次方程﹣x+（m+4）x﹣4m=0，其中0＜m＜4． （1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；

2

（2）设抛物线y=﹣x+（m+4）x﹣4m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，﹣2），且AD?BD=10，求抛物线的解析式； （3）已知点E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由． 考点： 二次函数综合题。 专题： 开放型。 分析： （1）在△≥0的前提下，用求根公式进行计算即可． （2）根据（1）的结果可得出A、B的坐标，然后求出AD、BD的长，代入AD?DB=10中，即可求得m的值，也就得出了抛物线的解析式． （2）分别将E、F、G的坐标代入抛物线的解析式中，可得出含a的y1、y2、y3的表达式，进而判断出y1、2

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