2011届高三数学一轮复习：1.3.3《导数的实际应用》测试2(新人教B(6)

taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区 x ?b?0，?????2a??? ?b2a ??????，????2a?bf?(x) f(x) 0 极小值 ? ? ? 从上表可看出，

函数f(x)有且只有一个极小值点，极小值为f?????b?b??b?????1?ln?????． ?2a?2??2a?? 当a?0，b?0时，f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

?b?0，?????2a??? x ?b2a ??????，????2a?bf?(x) f(x) 0 极大值 ? ? ? 从上表可看出， 函数f(x)有且只有一个极大值点，极大值为f?????b?b??b????1?ln?????． ??2a?2??2a??

综上所述，

当ab?0时，函数f(x)没有极值点； 当ab?0时，

若a?0，b?0时，函数f(x)有且只有一个极小值点，极小值为?b??b??1?ln????． ?2?2a???b??b??1?ln????． ?2??2a?? 若a?0，b?0时，函数f(x)有且只有一个极大值点，极大值为?第10题. （2007山东文)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大

值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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答案：解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为

由已知得：a?c?3，a?c?1， a?2，c?1，?b?a?c?3222xa22?yb22?1(a?b?0)，

?椭圆的标准方程为

x24?y23?1．

（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

?y?kx?m，?联立?x2y2

??1.?3?4

得 (3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0，则

????64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，即3?4k2?m2?0，?8mk? ，?x1?x2??23?4k?2?4(m?3).?x1x2?23?4k?22

又y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，

y1y23(m?4k)3?4k222．

?kADkBD??1，即

x1?2x2?2???1．

?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0．

?3(m?4k)3?4k2222?4(m?3)3?4k222?16mk3?4k2?4?0．

?7m?16mk?4k?0．

解得：m1??2k，m2??2k7，且均满足3?4k?m?0．

22当m1??2k时，l的方程为y?k(x?2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；

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当m2??2k7时，l的方程为y?k?x???2?2??2?，直线过定点0?． ??，7?7??

所以，直线l过定点，定点坐标为??，0?． ?7?第11题. 已知f(x)?ax3?bx2?cx在区间[0，1]上是增函数，在区间(?∞，0)，，(1?∞)上是减函数，又

?1?3f????． ?2?2（Ⅰ）求f(x)的解析式；

（Ⅱ）若在区间[0，m](m?0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）f?(x)?3ax2?2bx?c，由已知f?(0)?f?(1)?0， ?c?0，?c?0，?即?解得?3 ?3a?2b?c?0，?b??a．?23?1?3a3a232?f?(x)?3ax?3ax，?f??????，?a??2，?f(x)??2x?3x．

422?2?（Ⅱ）令f(x)≤x，即?2x3?3x2?x≤0，

?x(2x?1)(x?1)≥0，?0≤x≤12或x≥1．

12又f(x)≤x在区间?0，m?上恒成立，?0?m≤

3．

第12题. (2007广东文)若函数f(x)?x(x?R)，则函数y?f(?x)在其定义域上是（ ） A．单调递减的偶函数

C．单调递增的偶函数 答案：B

第13题. (2007湖北文)已知函数y?f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y?f(1)?f?(1)?＿＿＿＿．

12x?2，则

B．单调递减的奇函数 D．单调递增的奇函数

答案：3

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第14题. (2007四川文)设函数f(x)?ax3?bx?c(a?0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线

x?6y?7?0垂直，导函数f'(x)的最小值为?12．

（Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[?1,3]上的最大值和最小值． 答案：Ⅰ）∵f(x)为奇函数，

∴f(?x)??f(x)

即?ax3?bx?c??ax3?bx?c ∴c?0

∵f'(x)?3ax2?b的最小值为?12 ∴b??12

又直线x?6y?7?0的斜率为因此，f'(1)?3a?b??6 ∴a?2，b??12，c?0．

（Ⅱ）f(x)?2x3?12x． f'(x?)216

6x?1?2x6?(x2?，列表如下：)(2)

x f'(x) f(x) (??,?2) ?2 0 (?2,2) 2 0 (2,??) ? ? ? ? ? 极大 ? 极小 所以函数f(x)的单调增区间是(??,?2)和(2,??)

∵f(?1)?10，f(2)??82，f(3)?18

∴f(x)在[?1,3]上的最大值是f(3)?18，最小值是f(2)??82．

2第15题. (2007天津文)设函数f(x)??x(x?a)（x?R），其中a?R．

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（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f(x)的极大值和极小值；

（Ⅲ）当a?3时，证明存在k???1，0?，使得不等式f(k?cosx)≥f(k2?cos2x)对任意的x?R恒成立．

答案：（Ⅰ）解：当a?1时，f(x)??x(x?1)2??x3?2x2?x，得f(2)??2，且

2f?(x)??3x?4x?1，f?(2)??5．

所以，曲线y??x(x?1)2在点(2，?2)处的切线方程是y?2??5(x?2)，整理得

5x?y?8?0．

（Ⅱ）解：f(x)??x(x?a)2??x3?2ax2?a2x

22f?(x)??3x?4ax?a??(3x?a)(x?a)．

令f?(x)?0，解得x?a3或x?a．

由于a?0，以下分两种情况讨论．

（1）若a?0，当x变化时，f?(x)的正负如下表：

a???∞，??3??? a3x ?a??，a??3?a (a，?∞)f?(x) a30 ? 0 ? 因此，函数f(x)在x?处取得极小值f??a??，且 ?3?43?a?f????a； 327??函数f(x)在x?a处取得极大值f(a)，且

f(a)?0．

（2）若a?0，当x变化时，f?(x)的正负如下表：

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