2011届高三数学一轮复习：1.3.3《导数的实际应用》测试2(新人教B(2)

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?6?6a?3b?0，即?

24?12a?3b?0．?解得a??3，b?4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x3?9x2?12x?8c，

2f?(x)?6x?18x?12?6(x?1)(x?2)．

当x?(0，1)时，f?(x)?0； 当x?(1，2)时，f?(x)?0； 当x?(2，3)时，f?(x)?0．

所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c．

3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c． 则当x??0，3?，有f(x)?c2恒成立， 因为对于任意的x??0，所以 9?8c?c2， 解得 c??1或c?9，

因此c的取值范围为(??，?1)?(9，??)． 第11题. (2007全国II理)已知函数f(x)?x3?x． （1）求曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；

（2）设a?0，如果过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，证明：?a?b?f(a)．

2答案：解：（1）求函数f(x)的导数：f?(x)?3x?1．

曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为： 即

y?f(t)?f?(t)(x?t)， y?(3t?1)x?2t．

23（2）如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使

b?(3t?1)a?2t．

23

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于是，若过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，则方程

2t?3at?a?b?0

32有三个相异的实数根． 记 则

32g(t)?2t?3at?a?b，

g?(t)?6t?6at?6t(t?a)．

2当t变化时，g(t)，g?(t)变化情况如下表：

t g?(t) (??，0) 0 0 极大值a?b (0，a) ? a (a，??) ? 0 极小值? g(t) ? ? b?f(a) ? 由g(t)的单调性，当极大值a?b?0或极小值b?f(a)?0时，方程g(t)?0最多有一个实数根； 当a?b?0时，解方程g(t)?0得t?0，t?当b?f(a)?0时，解方程g(t)?0得t??a23a2，即方程g(t)?0只有两个相异的实数根；

，t?a，即方程g(t)?0只有两个相异的实数根．

?a?b?0，综上，如果过(a，b)可作曲线y?f(x)三条切线，即g(t)?0有三个相异的实数根，则?

b?f(a)?0．?即 ?a?b?f(a)．

e2x第12题. (2007陕西理)设函数f(x)?x?ax?a，其中a为实数．

（I）若f(x)的定义域为R，求a的取值范围； （II）当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单调减区间．

答案：解：（Ⅰ）f(x)的定义域为R，?x?ax?a?0恒成立，???a?4a?0，

?0?a?4，即当0?a?4时f(x)的定义域为R．

22（Ⅱ）f?(x)?x(x?a?2)e(x?ax?a)2x2，令f?(x)≤0，得x(x?a?2)≤0．

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由f?(x)?0，得x?0或x?2?a，又?0?a?4，

?0?a?2时，由f?(x)?0得0?x?2?a；

当a?2时，f?(x)≥0；当2?a?4时，由f?(x)?0得2?a?x?0， 即当0?a?2时，f(x)的单调减区间为(0，2?a)； 当2?a?4时，f(x)的单调减区间为(2?a，0)．

x32第13题. (2007浙江理)设f(x)?3，对任意实数t，记gt(x)?t3x?23t．

（I）求函数y?f(x)?g8(x)的单调区间；

（II）求证：（ⅰ）当x?0时，f(x)≥gt(x)对任意正实数t成立； （ⅱ）有且仅有一个正实数x0，使得g8(x0)≥gt(x0)对任意正实数t成立．

x3答案：（I）解：y?3?4x?163．

由y??x2?4?0，得

x??2．

因为当x?(??，?2)时，y??0， 当x?(?2，2)时，y??0， 当x?(2，??)时，y??0，

故所求函数的单调递增区间是(??，?2)，(2，??)， 单调递减区间是(?2，2)． （II）证明：（i）方法一： 令h(x)?f(x)?gt(x)?2x323?t3x?23t(x?0)，则

h?(x)?x?t3，

12当t?0时，由h?(x)?0，得x?t3．

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当x?(0，x3)时，h?(x)?0，

1当x?(x3，??)时，h?(x)?0，

1所以h(x)在(0，??)内的最小值是h(t3)?0． 故当x?0时，f(x)≥gt(x)对任意正实数t成立． 方法二：

2对任意固定的x?0，令h(t)?gt(x)?t3x?2313123t(t?0)，则

h?(t)?t?(x?t3)，

由h?(t)?0，得t?x3． 当0?t?x3时，h?(t)?0． 当t?x3时，h?(t)?0，

3所以当t?x3时，h(t)取得最大值h(x)?13x．

3因此当x?0时，f(x)≥gt(x)对任意正实数t成立． （ii）方法一：

f(2)?83?g8(2)．

由（i）得，g8(2)≥gt(2)对任意正实数t成立．

即存在正实数x0?2，使得g8(2)≥gt(2)对任意正实数t成立． 下面证明x0的唯一性： 当x0?2，x0?0，t?8时，

x033f(x0)?，g8(x0)?4x0?3163，

由（i）得，

x03?4x0?163，

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3再取t?x0，得gx3(x0)?0x0333，

所以g8(x0)?4x0?163?x03?gx3(x0)，

0即x0?2时，不满足g8(x0)≥gt(x0)对任意t?0都成立． 故有且仅有一个正实数x0?2，

使得g8(x0)≥gt(x0)对任意正实数t成立． 方法二：对任意x0?0，g8(x0)?4x0?因为gt(x0)关于t的最大值是

4x0?163≥13x0，

3163，

13x0，所以要使g8(x0)≥gt(x0)对任意正实数成立的充分必要条件是：

32即(x0?2)(x0?4)≤0，

①

又因为x0?0，不等式①成立的充分必要条件是x0?2， 所以有且仅有一个正实数x0?2，

使得g8(x0)≥gt(x0)对任意正实数t成立．

第14题. (2007湖北理)已知定义在正实数集上的函数f(x)?12x?2ax，g(x)?3alnx?b，其中

22a?0．设两曲线y?f(x)，y?g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．

（I）用a表示b，并求b的最大值； （II）求证：f(x)≥g(x)（x?0）．

答案：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设y?f(x)与y?g(x)(x?0)在公共点(x0，y0)处的切线相同．

3ax2∵f?(x)?x?2a，g?(x)?，由题意f(x0)?g(x0)，f?(x0)?g?(x0)．

?122x?2ax?3alnx0?b，002?23a?即?由x0?2a?得：x0?a，或x0??3a（舍去）． 23ax0?x?2a?，0?x0?

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