2011届高三数学一轮复习：1.3.3《导数的实际应用》测试2(新人教B

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导数的实际应用

第1题. 2007海南、宁夏文)设函数f(x)?ln(2x?3)?x2 （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）求f(x)在区间???31??4，的最大值和最小值．

4??答案：解：f(x)的定义域为???32，?????． ?2（Ⅰ）f?(x)?22x?3?2x?4x?6x?22(2x?1)(x?1)．

2x?3?2x?3当?3?x??1时，f?(x)?0；当?1?x??122时，f?(x)?0；当x??12时，f?(x)?0．

从而，f(x)分别在区间???3，?1??12?，??，???????单调增加，在区间?1???1，????单调减少． 22?（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在区间?31??1?ln2?1??，?的最小值为f????．

?44??2?4又f3971311???3??4??f?1???4??ln??ln??ln???49?216216722?1?ln???0． ??9?所以f(x)在区间?31??1?17??，?的最大值为f????ln．

?44??4?1621第2题. （2002海南、宁夏理）曲线y?e2x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（Ａ．

92e2

Ｂ．4e2

Ｃ．2e2

Ｄ．e2

答案：Ｄ

第3题. （2007海南、宁夏理）设函数f(x)?ln(x?a)?x2．

（I）若当x??1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （II）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于lne2．

答案：解： （Ⅰ）f?(x)?1x?a?2x，

）

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依题意有f?(?1)?0，故a?2x?3x?1x?32232．

从而f?(x)??(2x?1)(x?1)x?32．

3?3????．当??x??1时，f?(x)?0； f(x)的定义域为??，2?2?当?1?x??当x??1212时，f?(x)?0；

时，f?(x)?0．

??31???1??单调增加，在区间，?1?，?，???1，?????单调减少．

222?????从而，f(x)分别在区间??（Ⅱ）f(x)的定义域为(?a，??)，f?(x)?2x?2ax?1x?a2．

方程2x2?2ax?1?0的判别式??4a2?8． （ⅰ）若??0，即?2?a?（ⅱ）若??0，则a?2，在f(x)的定义域内f?(x)?0，故f(x)无极值．

2或a??2．

(2x?1)x?22若a?2，x?(?2，??)，f?(x)?．

当x??22时，f?(x)?0，当x???2，?????2??2???，???时，f?(x)?0，所以f(x)无极值． ????2??2?2??)，f?(x)?若a??2，x?(2，(2x?1)x?22?0，f(x)也无极值．

（ⅲ）若??0，即a??a?a?2222或a??2，则2x?2ax?1?0有两个不同的实根 ?a?a?222x1?，x2?．

当a??2时，x1??a，x2??a，从而f?(x)在f(x)的定义域内没有零点， 故f(x)无极值．

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当a?2时，x1??a，x2??a，f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，

由极值判别方法知f(x)在x?x1，x?x2取得极值． 综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，??)．

f(x)的极值之和为

f(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x1?ln(x2?a)?x2?ln2212?a?1?1?ln2?ln2e2．

第4题. （2007湖南理）函数f(x)?12x?x3在区间[?3，3]上的最小值是 ． 答案：?16

第5题. (2007湖南文)已知函数f(x)?（I）求a2?4b的最大值；

（II）当a2?4b?8时，设函数y?f(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数y?f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y?f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式．

答案：解：（I）因为函数f(x)?13x?313x?312ax?bx在区间[?1，1)，(1，3]内各有一个极值点．

212ax?bx在区间[?1，1)，(1，3]内分别有一个极值点，所以

22f?(x)?x?ax?b?0在[?1，1)，(1，3]内分别有一个实根，

设两实根为x1，x2（x1?x2），则x2?x1?0?a?4b，且0?x2?x1≤4．于是

2222x2?3，a?4b≤4，0?a?4b≤16，且当x1??1，即a??2，b??3时等号成立．故a?4b的最大值是16．

（II）解法一：由f?(1)?1?a?b知f(x)在点(1，f(1))处的切线l的方程是

y?f(1)?f?(1)(x?1)，即y?(1?a?b)x?23?12a，

因为切线l在点A(1，f(1))处穿过y?f(x)的图象， 所以g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?x?1不是g(x)的极值点．

23?12a]在x?1两边附近的函数值异号，则

而g(x)?13x?312ax?bx?(1?a?b)x?223?12a，且

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22g?(x)?x?ax?b?(1?a?b)?x?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)．

若1??1?a，则x?1和x??1?a都是g(x)的极值点．

所以1??1?a，即a??2．又由a2?4b?8，得b??1．故f(x)?解法二：同解法一得g(x)?f(x)?[(1?a?b)x??13(x?1)[x?(1?213x?x?x．

3223?12a]

32a)]．

3a2)x?(2?因为切线l在点A(1，f(1))处穿过y?f(x)的图象，所以g(x)在x?1两边附近的函数值异号．于是存在． m1，m2（m1?1?m2）

当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0； 或当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0． 设h(x)?x2??1???3a?3a??x?2????，则 2?2??当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0； 或当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0． 由h(1)?0知x?1是h(x)的一个极值点，则h?(1)?2?1?1?2所以a??2．又由a?4b?8，得b??1，故f(x)?3a22?0．

13x?x?x

33?上的最大值与最小值分别为M，m，则第6题. (2007江苏)已知函数f(x)?x?12x?8在区间??3，3M?m?_____．

答案：32

第7题. (2007江西理)设p:f(x)?e?lnx?2x?mx?1在(0，则p是q??)内单调递增，q:m≥?5，的（ ）

Ａ．充分不必要条件 Ｃ．充分必要条件 答案：B

第8题. （全国卷I理）设函数f(x)?e?ex?xx2

Ｂ．必要不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

．

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（Ⅰ）证明：f(x)的导数f?(x)≥2；

（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围答案：解： （Ⅰ）f(x)的导数f?(x)?ex?e?x． 由于ex?e-x≥2ex?e?x?2，故f?(x)≥2．

（当且仅当x?0时，等号成立）． y （Ⅱ）令g(x)?f(x)?ax，则

A D g?(x)?f?(x)?a?ex?e?x?a，

P 0， B F1 O F2 x

（ⅰ）若a≤2，当x?0时，g?(x)?ex?e?x?a?2?a≥C 故g(x)在(0，?∞)上为增函数，

所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．

a?a2（ⅱ）若a?2，方程g?(x)?0的正根为x?41?ln2，

此时，若x?(0，x1)，则g?(x)?0，故g(x)在该区间为减函数．

所以，x?(0，x1)时，g(x)?g(0)?0，即f(x)?ax，与题设f(x)≥ax相矛盾． 综上，满足条件的a的取值范围是??∞，2?． 第9题. (2007全国I文)曲线y?1?3x3?x在点?4?1，?3?处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（?Ａ．

1 Ｂ．299 Ｃ．13 Ｄ．

23

答案：A

第10题. (2007全国I文)设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c2成立，求c的取值范围．

答案：（Ⅰ）f?(x)?6x2?6ax?3b，

因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0．

）

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