2018春中考数学《矩形、菱形、正方形》强化练习(3)

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12M=BM=20 cm，∴GE=GB′-EB′=20-12=8 cm，在Rt△GEM中，根据勾股定理得GM=GE2?BM2=85 cm，综上，折痕GM=105 cm或8

5cm．

第9题解图

10. D【解析】∵在矩形ABCD中,BE=3,AE=26,∴CD=AB=15.在△ABE

??B??AME?和△AME中,??BAE??MAE,

?AE?AE?∴△ABE≌△AME(AAS),∴AB=AM=15,∴AM=CD，∵∠ADM+∠EDC=90°,∠ADM+∠DAM=90°,∴∠DAM=∠EDC.在△ADM和△DEC

??DMA??C?中,?AM?CD,

??DAM??EDC?∴△MAD≌△CED(ASA),∴DM=CE.设DM=CE=x,

∴AD=BC=3+x,在Rt△ADM中，由勾股定理得AD2=AM2+DM2，即(3+x)2=(15)2+x2,解得x=1.易证△DMF∽△DCE,∴DMCD=MFEC,即

1MF15?,∴MF=. 1511511. 18【解析】∵OE⊥BC,AB⊥BC,O是AC的中点，∴OE=AB=×6

1212 19

＝3，CE=BC=×8=4,又∵AB=6,BC=8∴AC=10,∴DO=AC=×10=5,∴四边形OECD的周长为3+4+6+5＝18. 12. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠FDQ=∠EBP=90°，AD=BC，AE∥CF，(1分) ∴∠E=∠F，(2分) 又BE=DF，

∴△FDQ≌△EBP(ASA)，(3分) ∴DQ=BP，(4分)

又∵AD=BC,∴AD-DQ=BC-BP, ∴CP＝AQ；(5分)

【一题多解】∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,∠A=∠C=90°,(1分) ∵BE=DF, ∴AE=CF,(2分) 又∵AD∥BC,

∴∠AQE=∠CPF，(3分)

12121212??AQE??CPF?在△AEQ和△CFP中,??A??C，

?AE?CF?∴△AEQ≌△CFP(AAS),(4分) ∴CP=AQ；(5分)

(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∠AEF=45°,

20

第29题解图

30. A【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB=BC=9，∵DE=2CE，∴CE=3.∵正方形ABCD关于AC对称，∴点B与点D关于AC对称.如解图，连接BE交AC于点P′，此时DP′+P′E=BP′+P′E=BE，即BE长为PE+PD的最小值，在Rt△BCE中，BC=9,CE=3，根据勾股定理得BE= BC2?CE2?92?32=310.

第30题解图

31. D【解析】过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则四边形AMND是矩形，∴AM=DN，AD=MN，∵BC=2AD，∴BM+CN=AD=MN，∵∠ABC+∠DCB=90°，∠ABC+∠BAM=90°，∴∠ABC=∠CDN，∵AM⊥BC，DN⊥BC，∴△ABM∽△CDN，∴AB：CD=BM：DN=AM：CN，∵S1=AB2=3，S3=CD2=9,∴AB=3，CD=3，∴DN=3BM,CN=3AM,∵AM=DN，∴CN=3BM，在Rt△CDN中，DN2+CN2=9，∵DN=3BM，CN=3BM，∴（3BM）

2

+（3BM）2=9，∴BM=

333，∴CN=，BM+CN=AD=23，BC=43，∴22S2=（43）2=48.

第31题解图

31

32. D【解析】由折叠性质知：AD=AF=AB，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴∠AFG=∠B＝90°，∵AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴BG=FG,∴EG=DE+BG，故结论①、③正确；∵AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE，∴CE=4，EF=DE=2，设BG=x,则CG=6-x,EG=x+2,由勾股定理得：(x+2)2-(6-x)2=42，解得x=3，∴BG=GC=3，故结论②正确；由①、②可知，CG=GF=3，∴∠GCF=∠GFC=∠BGA=∠FGA=

180???CGF,由△ABG≌△AFG得

2180???CGF,∴∠FGA=∠GFC,∴AG∥CF,故结论④正

2331确；∵GF∶EF=3∶2,∴S△CGF=S△CGE=××3×4＝3.6，故结

552论⑤正确.

33. 75°【解析】∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，∴在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD，AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE=DF.又∵BC=DC，∴CE=CF.又∵∠C=90°,∴∠CEF=45°，又∠AEF=60°，∴∠AEB=180°-∠CEF-∠AEF=75°.

34. 12【解析】∵正方形EFGH的边长为2，∴S2=4.记每个小直角三

?4S?S3?S2角形的面积为S，则?，

?4S?S2?S1则S1+S2+S3=4S+S2+S2+S2-4S=3S2=12. 35. (1)证明：在△ABC中， ∵AB=AC，AD⊥BC,CE⊥AN， ∴∠BAD=∠DAC，∠ADC=∠AEC=90°. ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

32

∴∠MAE=∠CAE,

1∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°,

2∴四边形ADCE为矩形；(6分)

(2)解：当∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形. 证明：∵∠BAC=90°时， AB=AC,AD⊥BC， ∴∠ACD=∠DAC=45°,

∴DC=AD.由(1)知四边形ADCE为矩形， ∴矩形ADCE是正方形.(12分)

36. 【解析】设小正方形EFGH的边长为x,则其面积为x2,设DE=y,则AE=y-x.在Rt△AED中，有AD2=(y-x)2+y2=13x2,整理得(2x+y)(3x-y)=0，∵y>x>0,∴2x+y≠0,∴(3x-y)=0，解得y=3x, ∴tan∠ADE=

23AEy－x3x－x2?? =.

3DEy3x37. （1）证明：在正方形ABCD中， AB=BC，∠ABC=∠BCF=90° ∴∠BAE+∠AEB=90° ∵AE⊥BF，

∴∠FBC+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠FBC， 在△ABE与△BCF中，

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??ABC??BCF?90??∴△ABE≌△BCF（ASA） ?AB?BC??BAE??FBC,?∴AE=BF.

（2）解：在矩形ABCD中，

∠ABC=∠BCF=90°,∴∠BAE+∠AEB=90° ∵AE⊥BF，∴∠FBC+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠FBC， 在△ABE与△BCF中 ∠ABC=∠BCF=90° ∠BAE=∠FBC, ∴△ABE∽△BCF, ∴AE:BF=AB:BC=.

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