系统建模与仿真习题答案(forstudents)(3)

在matlab命令行里键入>> a=[1 0];

>> b=[1 4.6];

>> c=[1 3.4 16.35]; >> d=conv(a,b)； >> e=conv(d,c)

e = 1.0000 8.0000 31.9900 75.2100 0

>> f=[0 0 0 5 100]; >> g=e+f

g = 1.0000 8.0000 31.9900 80.2100 100.0000

%以上是计算闭环传递函数的特征多项式% >> p=roots(g) %计算特征多项式的根，就是闭环

传递函数的极点%

p =

-0.9987 + 3.0091i -0.9987 - 3.0091i -3.0013 + 0.9697i -3.0013 - 0.9697i >> m=[5 100]; >> z=roots(m)

z = -20 %计算零点%

b1sn?1?...?bn?1s?bn 综上：当闭环传函形如G(s)?n时，可控标准型为： n?1s?a1s?...?an?1s?an?010...0??0??001...0??0???????A????????;B????；C???bnbn?1??b1??;D??0?

???00??1??0????1??????an????a1???.??x1?0100?x1????.????x???x2??0010??2????.????001?x3???x3??0?????.??31?.9?98?x4????100?80.2?1?? 所以可控标准型是?x4??????x1??x?2?0?0]??x3????x4????0?0?u?0??

1Y?[?1005u[0]

2-8用matlab语言编制单变量系统三阶龙格-库塔法求解程序，程序入口要求能接收状态方程各系数阵（A,B,C,D）,和输入阶跃函数r(t)=R*1(t);程序出口应给

出输出量y（t）的动态响应数值解序列

y0,y1,......,yn。

解：m文件为：function y=hs(A,B,C,D,R,T,h) %T为观测时间,h为计算步长，R为输入信号幅值% disp('数值解为'); y=0; r=R;

x=[0;0;0;0]; N=T/h; for t=1:N;

k1=A*x+B*R;

k2=A*(x+h*k1/3)+B*R; k3=A*(x+2*h*k2/3)+B*R;

x=x+h*(k1+3*k3)/4; y(t)=C*x+D*R; end

在命令行里键入A= B= C= D= R= T= h= y=hs(A,B,C,D,R,T,h) 得到结果。

2-9．用题2-8仿真程序求解题2-7系统的闭环输出响应y(t).

??0100??0?解：A=?0010??0???,B=??0001???,C=[?10050??100?80.21?31.99?8???0??1??在命令行里键入>> A=[0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1

-100 -80.21 -31.99 -8]; >> B=[0 0 0 1]'; >> C=[-100 5 0 0]; >> D=[0]; >> T=1; >> R=1; >> h=0.01;

>> y=hs(A,B,C,D,R,T,h) 数值解为 0

8.3333e-007

5.8659e-006

0],D=[0]

1.8115e-005

3.9384e-005

7.0346e-005 。 。 。

。 %仅取一部分%

12-10.用式（2-34）梯形法求解试验方程y'??y，分析对计算步长h有何限制，

?说明h对数值稳定性的影响。

h?y?y?(k1?k2)k?k?12?1?解：编写梯形法程序为?k1??yk

??11?k??(y?ykh)k?2???h2得到yk?1?yk(1??2) 稳定系统最终渐进收敛。

?2?hh2系统稳定则1??2?1 计算得0?h?2?。

?2?hh的选取不能超出上述范围，否则系统不稳定。

2-11如图2-27所示斜梁滚球系统，若要研究滚球在梁上的位置可控性，需首先建立其数学模型，已知力矩电机的输出转矩M与其电流i成正比，横梁为均匀可自平衡梁（即当电机不通电且无滚球时，横梁可处于?=0的水平状态），是建立系统的数学模型，并给出简化后系统的动态结构图。

解：设球的质心到杆的距离为0，该系统为特殊情况下的球棒系统。另令

I1,m,I2分别表示棒的惯量、球的质量和球的惯量。则球质心的位置和速度为

xc?(xcos?,xsin?)vc?(vcos??x?sin?,vsin??x?cos?)

??v，????。因而动能的移动部分为 其中x2因而动能的移动部分为 Ktrans?mvc2?m(v2?x? )21212球棒系统的旋转动能为 Krot?I1?2?I2()2 因而，系统总的动能K?Ktrans?Krot等于

1212vr

11K?(I1?mx2)?2??mv2

22其中??1?I2?1为常数。 mr2此系统的拉格朗日方程组为

?d?T?T?dt(?)??x??mgsin???x ??d(?T)??T?ki?mgcos??dt??????综合以上公式的系统的方程组为

?2?mgsin(?)?0???mx?m??x? ?2???2mxx??mgxcos(?)?ki?(I?mx)????1设系统在平衡点附近??0，cos??1，sin???，则系统方程可化为

x?mg??0?m??? ?2??(I?mx)??mgx?ki?1?对上式进行拉普拉斯变换并化简后可得到

X(s)。 I(s)参考文献：

[1] Hauser, S. Sestry, and P. Kokotovic. “Nonlinear control via approximate input-output linearization”. IEEE Trans. on Automatic Control, vol.37:pp.392-398, 1992.

[2] R. Sepulchre. “Slow peaking and low-gain designs for global stabilization of nonlinear systems”. submitted for IEEE TAC 1999.

[3] R. Sepulchre, M. Jankovic, and P. Kokotovic Constructive Nonlinear Control. Springer-Verlag, 1997.

[4] R. Teel. “Using Saturation to stabilize a class of single-input partially linear composite systems”. IFAC NOLCOS'92 Symposium, pages 369-374, June 1992.

2-12如图2-28所示双水箱系统中，qin为流入水箱1的液体流量，qout为流出水箱

2

的液体流量，试依据液容与液阻的概念，建立

Qout(s)?[Qin(s),H1(s),Q1(s),H2(s)]的系统动态结构图。 解：根据液容和液阻的概念，可分别列出两个水箱的数学模型

?dh1?C1dt?qin?q1??Cdh2?q?q21out?dt? ?h1?h2?q1?R1??h?qout?2R2??对上式进行在零初始条件下进行拉普拉斯变换得

?C1sH1(s)?Qin(s)?Q1(s)?CsH(s)?Q(s)?Q(s)1out?22?H1(s)?H2(s) ?Q1(s)?R1??H(s)Qout(s)?2?R2?化简后可得

Qout(s)1 ?2Qin(s)R1C1R2C2s?(R1C1?R2C2?R2C1)s?1Qout(s)1 ?Q1(s)R2C2s?1Qout(s)1 ?H1(s)R1R2C2s?R2?1Qout(s)1 ?H2(s)R2Qin(s)+-+-1C1sQ1(s)Qout(s)1R11C2s+-H1(s)H2(s)

第三章 习题

3-2设典型闭环结构控制系统如图4-47所示，当阶跃输入幅值 R?20时，用sp4_1.m求取输出y(t)的响应。

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