数据拟合的几个应用实例 毕业论文(7)

燕山大学本科生毕业设计（论文）

?l11B1?l12B2???l1mBm?l1Y?lB?lB???lB?l?2112222mm2Y (2-47) ?????lm1B1?lm2B2???lmmBm?lmYB0?Y?B1X1?B2X2???BmXm (2-48)

其中

1n1nY??Yk,Xi??Xik (2-49)

nk?1nk?11?n??n?lij?lji??(Xik?Xi)(Xjk?Xj)??XikXjk???Xik???Xjk? (2-50)

n?k?1k?1k?1??k?1?1?n??n?liY??(Xik?Xi)(Yk?Y)??XikYk???Xik???Yk? (2-51)

n?k?1k?1k?1??k?1?nnnn2.4 本章小结

本章阐述了数据拟合的基本理论及其方法。用最小二乘法论理引出了线性以及非线性曲线拟合的方法，并推广至多元拟合。分别详细介绍了各种方法的理论及其公式。并分别对曲线拟合以及多元拟合的求解的基本步骤做出了归纳。通过本章可以掌握数据拟合的基本方法以及理论基础。

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第3章 数据拟合应用实例

第3章 数据拟合应用实例

3.1 数据拟合在物理实验中的应用

在物理实验[17]中，我们通过观测得到的数据，一般都存在着误差。此时如果要求近似函数通过全部测量的已知点，就相当于保留了全部的数据误差，显然这是不合理的。我们使用最小二乘法来拟合实验数据可以得到很好的效果。

3.1.1 多项式拟合

现在有一为了测量线性电阻元件伏安特性的物理实验。实验数据见表3-1。

表3-1 测量线性电阻元件伏安特性的实验数据

i 1 2 3 4 5 Ii/A 0 0.009 0.020 0.030 0.039 Ui/V 0 1 2 3 4 i 6 7 8 9 10 Ii/A 0.049 O.061 0.073 0.082 0.092 Ui/V 5 6 7 8 9 由于试验的目的是研究关于线性电阻的伏安特性，所以设拟合多项式为

U/V?a0?a1I/A (3-1)

将数据表代入数据拟合的基本公式里，得此实验的正则方程组

10a0?0.455a1?45

0.455a0?0.0295a1=2.9010?它的解为a0?0.0865,a1?97。因此这一组数据的最小二乘法拟合为 U/V?0．0865?97I/A

3.1.2 指数拟合

现在有一为测量电容器放电过程特性的实验．因为数据点

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(xi,yi)(i?1,2,?,n)

分布近似于指数曲线，我们设放电过程中电容上的电压变化公式为：

uC??et/RC (3-2)

测得uC和t的数据如表3-2：

表3-2 测量电容器放电过程特性的实验数据

i 1 2 3 4 5 6 7 ti/s 0.0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 ui/V 9.99 8.19 7.37 6.81 5.99 5.49 5.01 i 8 9 10 11 12 13 ti/s 4.0 4.5 5.0 11.5 23.0 25.0 ui/V 4.39 4.07 3.68 1.003 0.101 0.07 由于电压变化公式属于非线性求解的问题，所以，我们对公式式两端取对数，则有：

lnuC??t/RC?ln? (3-3)

等式的右端为线性函数．数据组(ti,lnui)(i?1,2,?,n)的分布基本近似于直线。所以我们先求出数据组(ti,lnui)的最小二乘拟合直线，然后再将之转换为指数的形式。我们对表3-2中ui/V取对数，得到数据表3-3。

将表3-3数据代入数据拟合最小二乘法的基本公式中，得正则方程组

13a0?86.5a1?12.658

86.5a0?1382.25a1??76.277?其解为a0?2.297,a1??0.198。因此??e2.297?9.94，得电容电压公式近似为

uC?9.94e?0.198t

利用最最小二乘法来分析物理实验里所测得的实验数据，我们可以根据测得的数据拟合出近似函数，并得到比较精确的解。在工程实际问题中，由于各个点的观测误差不同，我们还常常引入加权方差。总之，在实际的工程问题中，我们应当采用尽可能多的方法去分析数据，使得实验更有意义。

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第3章 数据拟合应用实例

表3-3 对表3-2的实验数据取对数

i 1 2 3 4 5 6 7 ti/s 0.0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 ln(ui/V) 2.300 2.103 1.997 1.918 1.790 1.703 1.610 i 8 9 10 11 12 13 ti/s 4.0 4.5 5.0 11.5 23.0 25.0 ln(ui/V) 1.479 1.404 1.303 0.003 -2.293 -2.659 3.2 数据拟合在塔机起重量监测系统中的应用

起重量限制器[18]是用来保护塔机的重要装置之一，是用于防止因超重而引起起升电机、传动机构、钢丝绳的损坏。但是它只能在极限的状态下保护塔机起升机构不会受到损坏，不能够显示起重量值，因此，司机在操作过程中不了解塔机每次起吊重量的具体状况。为了进一步提高塔机的安全性能和工作效率，增加塔机起重量在线监测装置非常重要，实时准确地测量出起重量是在线监测的关键。

3.2.1 工程原理

在实时临测系统中，在原有起重量限制器的基础上加装了拉力传感器，传感器所测量的拉杆拉力Q与钢丝绳的张力F之间存在着一定的函数关系，起重量增加，拉杆拉力也相应增加，因此可通过间接测量拉杆拉力的方法先测出钢丝绳的张力，然后根据吊钩处的钢丝绳倍率关系计算出实际起重量，从而在拉杆拉力与塔机起重量之间建立起函数关系。

软测量模型：两个具钉因果关系的相关物理量在整个测量范围内的特性可用幂级数多项式描述：

y?a0?a1x?a2x2?a3x3???aixi?? (3-4)

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3.2.2 应用实例

由于塔机起重量G与钢丝绳张力F之间有确定的函数关系(倍率关系)，在实际应用中，以塔机起重量G代替钢丝绳张力F作为输出样本，以拉杆拉力Q作为输入样本。塔机QTZ63最大额定起重量为Ge?6000kg，分别以0.1Ge、 0.2Ge、…、Ge为起重量，测量相应的拉力传感器拉力Q，以获取样本表3-4。

表3-4 实测样本、估算值及相对误差

样本 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 拉杆拉力Q/kN 0 0.45 0.94 1.44 2.10 2.61 3.36 4.27 5.16 6.05 7.33 起重量G/kg 0 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000 起重量估算G/kg 0.4 60.9 1206.8 1776.9 2460.7 2940.0 3575.5 4250.9 4828.6 5344.1 6015.2 相对误差?/% 基准点 0.15 0.57 1.30 2.47 2.04 0.69 1.20 0.59 1.05 0.25 画起重量G和拉力Q的散点图，根据散点图的走势确定拟合多项式的阶次n=3。运用MATLAB多项式拟合指令：A?polyfit(x,y,n)5，其中x为拉杆拉力，y为起重量，A为所求多项式系数。经计算得：A= [4.59 -110.41 1383.2 043] 所求拟合多项式为(3-5)式。

G?0．43?1383．2Q-1l0．41Q2 ?4．59Q3 (3-5)

根据所求拟合多项式估算起重最值见表l，样本散点和拟合曲线如图3所示：GB5l44—94规定：起重机应安装起重量限制器，对最大起重量大于6t的起重机如设有最示装置，则其数值误差不得大于指示值的5％ 。拟合曲线

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