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分析，从而确定模型形式。而在大量的研究中，分析者倾向于采用投入导向(Coelli, Rao, O'Donnell et al. 2005)。投入导向模型是固定产出使投入最小。例如：研究教育部门不同高等院校的效率问题，由于对于学校投入决策比较容易控制，因此，一般假设学校是投入导向型的决策单元，即学校通过调整学校的投入，如教师的数量、教师的教育程度、教师的工作经验、工资、图书馆图书数量、课题和科研经费数量等来达到给定的学生的学习成绩。
假设共有n个决策单元（DMUs），N=1，...，n；每个决策单元DMU j 利用m 种投入去生产s 种产出。分别用输入Xj 和输出Yj 表示，则Xj?(x1j,x2j,x3j,?,xmj)，
Yj?(y1j,y2j,y3j,?,ymj)。则第 n 家厂商技术效率值可利用下列包络型DEA 之线性规
划求得，即
MaxSt
?Ty0?Vp
?Txj??Tyj?0?Tx0?1
(j?1,2,?,n)
??0,??0
6.3.1.3 DEA方法的数学形式
前面提到DEA模型最基本的可以分为CCR模型和BCC模型，最初由Charnes、Cooper and Rhodes(1978)建立的CCR模型是一个分数规划的形式，随后发展成现在的线性规划的模型形式。下面将此模型演变的过程做一整理。 6.3.1.3.1 CCR模型的演变 6.3.1.3.1.1 CCR的分数规划模型
分数规划模型是最初建立的DEA模型的形式。假设共有n个决策单元，N=1，...，n，决策单位 j (j=1,… ,n)使用的第i (i=1,… ,m)种投入的数量为Xij，其第r (r=1,… ,s) 种产出的数量为Yrj，则决策单元 k 的效率Ek为
MaxU,VEk??UYrsrk?VXii?1r?1m
ik 11
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?UYrsrjSt：
?VXii?1r?1m?1;ijj?1,2,??,n （6.1）
Ur,Vi?0;r?1,2,??,s;i?1,2,??,m
假设每一个决策单元（DMU） 有s 种产出，m 种投入，共有n 个DMU，其中： Xij 表示第j 个DMU 的第i 种投入； Yij 表示第j 个DMU的的第r种产出的数量； Ur，Vi 分别第r个产出及第i个投入的权重； Ek 表示某受评估DMU 的相对效率值。
上式的效率值是在相同产出水平条件下，比较投入资源的利用效率，称为投入导向效率(Input-Based Efficiency)。从规划模型（6.1）可以看出，目标方程是一种比例型式的规划模型，是由产出的加权组合除以投入的加权组合，而权重Ur，Vi则由规划模型来决定。约束方程则将比值限制在[0，1]之间，以满足效率的定义。在这个模型中权重Ur，Vi是未知的，当计算目标决策单元k的效率时，权重会被选定为特定的数值，以使效率值Ek为最大。如果计算得到的决策单元的效率值为1时，称为该决策单元相对于其它决策单位有效率；如果效率值小于1，则称该决策单元为相对无效率。由于有n个决策单元，因此，规划模型（6.1）会进行n次规划求解（求n个权重），也即求出n个效率值。
6.3.1.3.1.2 线性规划模式
由于分数线性规划模型运算不易，且有无穷多解，因此，通过固定分母的值，即让分母等于1，将上述的模型转换成线性规划的模型(Cooper, Seiford and Zhu 2004)。
Max??,Ek???rYrk
r?1msSt：
??i?1siXik?1
m??Y???rrjr?1i?1iXij?0;j?1,2,??,n （6.2）
?r,?i?0;r?1,2,??,s;i?1,2,??,m
通过上式可以与经济学的原来相联系，因为目标函数在追求最大实际产出，必须受到一定的约束条件的限制，即实际投入不超过实际产出的条件。Chrnes et al(1985)指出这意谓着
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满足经济学上所谓的Pareto最优条件，因为最大效率值的增加，只可能通过某些投入的数量的减少或某些产出数量的增加而达成。
6.3.1.3.1.3 对偶(Dual)模式
但是线性规划模式（6.2）在求解时也并不容易，约束条件个数(m+s+n+1)大于变数个数(m+n)，因此，在实际求解时往往转化成一个对偶规划问题，即将（6.2）转换成对偶模型来求解。则其对偶模式为：
F(Y,X|CRS)?Min?TEk
St：
??j?1nnjXij?TEkXik,i?1,2,?,m （6.3）
??Yjj?1rj?Yrk,r?1,2,?,s
?j?0;j?1,2,??,n
上述规划求解，得到的TEk 值即为第 k 个决策单元（DMU）的技术效率。重复 n 次后，即可得所有的n个决策单元（DMU）的技术效率值。模型（6.3）又称为“Farrell Model”(Cooper, Seiford et al. 2004)，因为这个模型也是Farrell（1957）时所使用的一种。这种对偶模型（6.3）也是常用到的形式，下面的BCC模型是以（6.3）这个对偶模型为基础进行推导。
6.3.1.3.2 BCC模型
CCR 模型假定生产技术是固定规模报酬（Constant Returns to Scale, CRS）2，衡量的是决策单元的整体效率。如果一个决策单元处于无效率状态时，造成这种无效率可能有以下的两个原因：一个是技术方面，即技术不是最优的，而另一个则可能是由于决策单元的生产规模的因素，即生产规模没有达到最优规模而造成生产的无效率，这是一种非技术的无效率。CCR模型无法反应上述的情况，因此，需要对无效率的原因进行进一步的分析。
Banker, Charnes and Cooper(1984)在CCR模型的基础上，对CCR模型进行发展，使DEA模型也可以用来分析规模报酬的情况。当规模报酬为可变动时，就可以区分出到底无效率形成原因是由于技术的原因，还是由于决策单元的规模不当的原因。
Banker、Charnes 及Cooper 将技术效率（Technical Efficiency，TE）又分解成纯技术效率（Pure Technical Efficiency，PTE）与规模效率（Scale Efficiencies，SE），以此衡量评估 2
固定规模报酬是指投入要素同时扩大?倍，则产出也相应扩大?倍。用函数表示：假如生产函数为Y=f（X），那么?Y=f（?X）。
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决策单元的整体相对效率，这种假定生产技术是可变规模报酬的规划模型，又称BCC 模式。规模效率（SE）是当生产技术可变动情形下，决策单位是否处于最适生产规模，使其产出水平所用的平均投入量为最低。
根据Banker, Charnes and Cooper(1984)的研究，如果把固定规模报酬的假设改为非递增规模报酬（Nonincreasing Returns to Scale, NIRS），则只需要在原CCR模型的基础上加入另外一个约束条件：
??j?1nj?1，因此，BCC模型的规划模型的代数形式如下：
MinSt：
?k
??j?1nj?1njXij??kXik,rji?1,2,?,m
r?1,2,?,s （6.4）
??Yj?Yrk,
?j?0;j?1,2,??,n
??j?1nj?1
其中，θk 为非递增规模报酬时的技术效率。
如果我们把固定规模报酬假设改为可变规模报酬（Variable Returns to Scale, VRS），则DEA模型限约束条件须改为
??j?1nj?1，规划模型变为：
MinSt：
PTEk
??j?1njnjXij?PTEkXik,i?1,2,?,m
??Yj?1rj?Yrk,r?1,2,?,s （6.5）
?j?0;j?1,2,??,n
??j?1nj?1
在该约束下，这个规划模型求最优解得到的效率值PTEk 称为纯粹技术效率。
6.3.1.3.3 技术效率与纯技术效率间的关系
通过采用不同的生产技术假设可以求出不同的效率值（又称为效率得分），即技术效率与纯技术效率。下面用图6.8 简要说明技术效率与纯技术效率间的关系。在图6.8中，我们利
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用一个只有一种投入和一种产出的例子来画出在CRS和VRS假设条件下的生产前沿。
Y NIRS DEA CRS DEA 前沿面 F 前沿面 D5 G D4 D3 A B C D2 VRS DEA D1 O E X
图6.8 技术效率与纯技术效率之间的关系
假设有5个决策单元，D1－D5，根据不同的假设条件则构造出不同的前沿面。在图中过原点引出的射线，并且通过各个决策单元的有许多条，而OD3F是斜率最大的一条射线。过原点的射线意味着生产技术是规模报酬不变的，射线的函数为 Y=kX，所以 ?Y=?（kX），而斜率越大，说明给定投入的产出也是最大的，即效率也是最高的。图中的虚线OD3D5G为非递增的生产技术，其中OD3为规模报酬不变，线段D3D5和线段D5G为规模报酬递减（其截距为正，函数为Y=a+ kX，因此，a+?（kX）< ?Y =?a+?（kX）。）。而ED1D3D5G为可变规模报酬。
从图中可以看出，只有D3是同时处于规模报酬不变和可变规模报酬的前沿面上。下面通过分析决策单元D2来反映技术效率与纯粹技术效率间的关系，这里采用投入导向型的DEA模型。
在图6.8中，根据前面的介绍可知，在固定规模报酬（CRS）假设下的生产边界为过原点的射线OD3，D2为无效率点，因此，生产无效率的点DMU D2，其技术效率为：
TED2?AB/AD2 （6.6）
也就是说，生产OA数量的产出，决策单元（DMU） D2 所需的投入为
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