2012年高考真题 - 数学文（四川卷）解析(1) - 图文(3)

an22、(本小题满分14分) 已知a为正实数，n为自然数，抛物线y??x?与x轴正半

2轴相交于点A，设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。

2（Ⅰ）用a和n表示f(n)； （Ⅱ）求对所有n都有

f(n)?1n成立的a的最小值； ?f(n)?1n?1111与 ??????f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)（Ⅲ）当0?a?1时，比较

6?f(1)?f(n?1)的大小，并说明理由。

f(0)?f(1)??[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为???

则抛物线在点A处的切线方程为：

a?'1n2，对y??x?a求导得y??2x ,0?2?2?

?

n

y??2a(x?nan2),即y??2ax?a.则f(n)?a ………………4分

nnn（2）由（1）知f(n)=

an,则

f(n)?1nn?成立的充要条件是a?2n?1

f(n)?1n?1即知，

an?2n?1对于所有的n成立，

n特别地，当n=1时，得到a≥3 当a=3，n≥1时，

an?3?(1?2)?1?Cn.2???2n?1

n1当n=0时，

anf(n)?1n?=2n+1.故a=3时f(n)?1n?1对所有自然数n均成立.

所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分 （3）由（1）知f(k)=ak

下面证明：

111f(1)?f(n?1) ?????6.f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)f(0)?f(1)1x?x

2

首先证明0

?6x

设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0

故g（x）在区间（0，1）上的最小值所以，当00,即得

g(x)1221?g()??0 min39x?xk?6x

1由0

111????f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)111 ????224n2na?aa?aa?a

?6(a?a???a)?6?2na?an?11?n?6?f(1)?f(n?1)??????14分f(0)?f(1)

[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。

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