第二部分 （非选择题 共90分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。） 13、函数f(x)?1的定义域是____________。（用区间表示） 1?2x[答案]（-?，）
[解析]由分母部分的1-2x>0，得到x∈(-?，）.
[点评]定义域问题属于低档题，只要保证式子有意义即可，相对容易得分.常见考点有：分母不为0；偶次根下的式子大于等于0；对数函数的真数大于0；0的0次方没有意义. 14、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是____________。 [答案]90o
[解析]方法一：连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以，DN⊥平面A1MD1，
又A1M?平面A1MD1，所以，DN⊥A1D1，故夹角为90o
方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴，建立空间直角坐
标系D—xyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A1（2,0,2）
ADMBA1D1B1NCC11212（0,2,1），MA1?（2，?1,2）故，DN? MA1??所以，cos
|DN||MA1|[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决.
x2y2?1(a为定值，且a?5)的的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点15、椭圆2?a5A、B，?FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
2[答案]
3[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又?a2?c2?5
?c?2,?e?c2? a3[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 16、设a,b为正实数，现有下列命题：
①若a2?b2?1，则a?b?1；
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②若
11??1，则a?b?1； ba③若|a?b|?1，则|a?b|?1； ④若|a3?b3|?1，则|a?b|?1。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） [答案] ①④
若a,b中至少有一个大于等于1， 则a+b>1, 由a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ，所以，a-b<1 故①正确.
对于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1，
若a,b中至少又一个大于等于1，则a2+ab+b2>1,则|a-b|<1 若a,b都小于1，则|a-b|<1，所以④正确. 综上，真命题有 ① ④ .
[点评]此类问题考查难度较大，要求对四个备选项都要有正确的认识，需要考生具备扎实的数学基础，平时应多加强这类题的限时性练习.
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，[解析]若a,b都小于1，则a-b<1
1和p。 1049（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
50（Ⅱ）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。
系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为
[解析]（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么 1-P（C）=1-
1491P= ，解得P=………………………………6 分 10505（2）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为
事件D,
2那么P(D)=C3111972243 ?(1?)2?(1?)3??1010101000250243. ………………12分. 250答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为
[点评]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 18、(本小题满分12分) 已知函数f(x)?cos2（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和值域；
xxx1?sincos?。 222232，求sin2?的值。 10xxx1[解析]（1）由已知，f（x）=cos2?sincos?
2222（Ⅱ）若f(?)? 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com
?（1?cosx）?1211sinx? 22 ?2? cos（x?）24?2,2?所以f（x）的最小正周期为2?，值域为??，?。…………………6分
22???（2）由（1）知，f（?）= 所以cos（??2?32 cos（??）?，2410?4?3）。 5 所以sin2???cos（ ）4?1872 ?1?2cos（，…………………12分 ??）?1??42525?2?2?）??cos（2???[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，
考查运算能力，考查化归与转化等数学思想.
19、(本小题满分12分) 如图，在三棱锥P?ABC中，P?APB?90，?PAB?60，AB?BC?CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上。
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小。
CAB[解析]（1）连接OC. 由已知，?OCP为直线PC与平面ABC所成的角
设AB的中点为D，连接PD、CD. 因为AB=BC=CA,所以CD?AB.
因为?APB?90?，?PAB?60?，所以?PAD为等边三角形， 不妨设PA=2，则OD=1，OP=3, AB=4.
所以CD=23，OC=OD?CD?1?12?13. 在Rt?OCP中，tan?OPC?22OP339??.…………………………6分 OC1313
（2）过D作DE?AP于E，连接CE.
由已知可得，CD?平面PAB. 据三垂线定理可知，CE⊥PA，
所以，?CED为二面角B—AP—C的平面角. 由（1）知，DE=3
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在Rt△CDE中，tan?CED?CD23??2 DE3故二面角B—AP—C的大小为arctan2 …………………………………12分 [点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）.
20、(本小题满分12分) 已知数列{an}的前n项和为Sn，常数??0，且?a1an?S1?Sn对一切正整数n都成立。
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a1?0，??100，当n为何值时，数列{lg[解析]取n=1,得?a1?2s1?2a1,a1(?a1?2)?0
若a1=0,则s1=0, 当n?2时，an?sn?sn?1?0,所以an?0 若a1?0，则a1?1}的前n项和最大？ an?222当n?2时，2a??s,2a??sn?1, , nnn?1??上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上，若a1 = 0, 则an?0 若a1?0，则an?2n? …………………………………………7分
（2）当a1>0,且??100时，令bn?lg1,所以，bn?2?nlg2 an所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）
100100?lg?lg1?0
6426100100当n≥7时，bn≤b7=lg7?lg?lg1?0
1282则 b1>b2>b3>…>b6=lg故数列{lg
1}的前6项的和最大. …………………………12分 an[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 21、(本小题满分12分) 如图，动点M与两定点A(?1,0)、B(1,0)构成?MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C。
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y?x?m(m?0)与y轴交于点P，与轨迹C相交
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于点Q、R，且|PQ|?|PR|，求
|PR|的取值范围。 |PQ|[解析]（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在。
于是x≠1且x≠-1.此时，MA的斜率为由题意，有
yy，MB的斜率为. X?1x?1yy·=4 X?1x?1化简可得，4x2-y2-4=0
故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0（x≠1且x≠-1）…………………………4分
?y?x?m（2）由?2消去y，可得3x2-2mx-m2-4=0. (﹡) 2?4x?y?4?0 对于方程(﹡)，其判别式
?
=（-2m)2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0
而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1.
结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1
设Q、R的坐标分别为（XQ,YQ）,(XR,YR),则为方程（*）的两根. 因为PQ?PR,所以
XQ?3X2R，
XQ?m?2m32?3,XP?m?2m32?3
所以
PR?PQXX21?PR?21?m?1?1?21?2332?1m3?2
。
2m?1此时1?3m2?1,且1?m2
所以1?1?221?3?3,且1?2221?3?2mRP?1PRPQm??15 3所以1?PRPQ?PRXX?3,且?XXRP5 3综上所述，
55 …………………………12分 的取值范围是（1，）?（，3）PQ33[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能
力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。
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