2017 - 2018学年高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算学案（(3)

1?1?解析：f′(x)＝2x＋2f′?－?，令x＝－， 3?3?2?1??1?则f′?－?＝－＋2f′?－?，

3?3??3?

?1?2

∴f′?－?＝. ?3?3

2答案： 3三、解答题

9．求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x－1)； (2)y＝xsin x； e＋1(3)y＝x. e－1

解：(1)法一：y′＝[(x＋1)]′(x－1)＋(x＋1)(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)＝3x＋2x－1.

法二：y＝(x＋2x＋1)(x－1)＝x＋x－x－1，

2

3

2

2

2

2

2

2

2

xy′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.

(2)y′＝(xsin x)′＝(x)′sin x＋x(sin x)′ ＝2xsin x＋xcos x. (3)y′＝＝e

xx22

2

2

e＋1′－x－

xxe－1－e＋1

x2e－1

xxxe－1′

x－＋

2

＝

－2ex－

x2

.

10．设f(x)＝x＋ax＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数

3

2

a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

解：因为f(x)＝x＋ax＋bx＋1， 所以f′(x)＝3x＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b. 又f′(1)＝2a， 所以3＋2a＋b＝2a，

解得b＝－3.

令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b.

23

2

11

又f′(2)＝－b， 所以12＋4a＋b＝－b， 解得a＝－3

2

. 所以f(x)＝x3

－322x－3x＋1，

从而f(1)＝－5

2.

又f′(1)＝2×??3?－2???

＝－3， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－??5?－?2??

＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.

12

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