2017 - 2018学年高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算学案（(2)

＝－xsin x＋cos x.

x2

xxx(3)y′＝(3e)′－(2)′＋(e)′ ＝(3)′e＋3(e)′－(2)′ ＝3ln 3·e＋3e－2ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)－2ln 2.

求曲线的切线方程 [例3] (1)曲线y＝sin x＋e在点(0,1)处的切线方程是________．

π

(2)若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0相互垂直，则实数

2

xxxxxxxxxxxxxa＝________.

[解] (1)∵y＝sin x＋e， ∴y′＝cos x＋e， ∴y′|x＝0 ＝cos 0＋e＝2，

0

xx∴曲线y＝sin x＋e在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0. (2)因为f′(x)＝sin x＋xcos x， πππ?π?所以f′??＝sin＋cos＝1. 222?2?又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，

2所以根据题意得1×?－?＝－1，解得a＝2.

?2?答案：(1)2x－y＋1＝0 (2)2 [类题通法]

根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．

[活学活用] 求曲线y＝解：∵y＝∴y′＝

2x?2，4?处的切线方程．

在点?5?x2＋1??

2

xa?a?2x， x＋1

x2＋

－2x·2x2－2x＝222

＋x＋x2

2

，

6

∴y′|x＝2＝因此曲线y＝2－8＋

2

6＝－. 2

25

2x46?4?在点?2，?处的切线方程为y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0. x＋1525?5?

4.求曲线的切线方程

[典例] (12分)已知函数f(x)＝x＋x－16，直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

[解题流程]

3

[随堂即时演练]

1．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为( ) A．y＝2x＋2 C．y＝x－1

解析：选C ∵y＝xln x， ∴y′＝ln x＋1，

故切线斜率为k＝y′|x＝1＝1. ∴切线方程为y＝x－1.

B．y＝2x－2 D．y＝x＋1

7

2．函数y＝

x2

x＋3

的导数是( )

x2＋6xA. x＋2

C.

－2xx＋

2

x2＋6xB. x＋3

3x＋6xD. x＋2

2

2

?x?′

解析：选A y′＝???x＋3?

＝＝2xx2

x＋x＋

x＋

－x2－xx＋

2

22

x＋

x2＋6x＝. x＋23．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．

解析：y′＝3ln x＋4，则曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，故切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.

答案：y＝4x－3

x＋1?π?4．已知函数f(x)＝，则f′??＝________. sin x?2?

解析：f′(x)＝＝sin x－

x＋

xin x－x＋

2sinx，

x x＋2sinxπ?π?πsin－?＋1?cos

2?22??π?则f′??＝＝1.

?2?2π

sin

2答案：1

5．已知抛物线f(x)＝ax＋bx－7经过点(1,1)，且在点(1,1)处的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．

解：因为抛物线f(x)＝ax＋bx－7经过点(1,1)， 所以1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.

又在点(1,1)处的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，其斜率为4，f′(x)＝2ax＋b， 所以f′(1)＝4， 即2a＋b－4＝0.

??a＋b－8＝0，解方程组?

??2a＋b－4＝0，

22

8

??a＝－4，得?

?b＝12.?

[课时达标检测]

一、选择题 1．给出下列结论：

π?π?①(cos x)′＝sin x；②?sin?′＝cos；

6?6?11?－1?③若y＝2，则y′＝－；④?′＝ . ?xxx??2xx1

其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

解析：选B (cos x)′＝－sin x，所以①错误； π1?1?sin＝，而??′＝0，所以②错误；

62?2?

2

?12?′＝0－x?x?x4??

＝－2x－3

4＝－2x，所以③错误；

x0－

?－1???′＝－

xx1

2

?x?

11x－

22131＝＝x－＝，所以④正确．

x222xx1

2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )

421

A．3 B．2 C．1 D. 2

x2

x3

解析：选A 因为y′＝－，

2xx31

所以由导数的几何意义可知，－＝，

2x2

解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．

3．对任意的x，有f′(x)＝4x，f(1)＝－1，则此函数解析式为( ) A．f(x)＝x B．f(x)＝x－2 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1

解析：选B 由f′(x)＝4x知，f(x)中含有x项，然后将x＝1代入选项中验证可得． 4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax＋3相切，则a的值为( ) A．1 B．±1 C．－1 D．－2

3

3

4

3

4

3

4

3

9

解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax0＋3，所以3x0＋1＝ax0＋3.①

对y＝ax＋3求导得y′＝3ax， 则3ax0＝3，ax0＝1.② 由①②可得x0＝1，所以a＝1.

5．若f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 015(x)＝( )

A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x

解析：选D 因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，

2

2

3

2

33

f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，

f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，

因此f2 015(x)＝f3(x)＝－cos x. 二、填空题

6．若f(x)＝e(cos x＋sin x)，则f′(x)＝________. 解析：f′(x)＝?＝＝

－x?cos x＋x sin x?′

?e??

xx－sin x－e

2xe

xx＋sin x

－2sin x－x＝－2esin x. xe

－x答案：－2esin x

1x7．(陕西高考)设曲线y＝e在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，

x则P的坐标为________．

1xx0

解析：y′＝e，曲线y＝e在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e＝1，设P(m，n)，y＝(xx111

＞0)的导数为y′＝－2(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－2(m＞0)，因

xxm为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．

答案：(1,1)

?1??1?2

8．已知f(x)＝x＋2f′?－?x，则f′?－?＝________.

?3??3?

10

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