2013年中考数学专题复习 第23讲 圆的有关概念及性质精品导学案(5)

分析：首先根据题意画出符合题意的图形，（1）当AB为梯形的底时，PQ∥AB，可得Q在CP上，由△APQ是等边三角形，CP∥x轴，即可求得答案； （2）当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，易得四边形ABPC是平行四边形，即可求得CP的长，继而可求得点P的横坐标． 解答：解：（1）如图1：当AB为梯形的底时，PQ∥AB， ∴Q在CP上，

∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴， ∴AC垂直平分PQ， ∵A（0，2），C（0，4）， ∴AC=2，

3?23∴PC=AC?tan30°=2×32， 23∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是：2；

（2）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP， ∴Q在y轴上，

∴BP∥y轴， ∵CP∥x轴，

∴四边形ABPC是平行四边形， ∴CP=AB=23，

如图3，当C与P重合时， ∵A（0，2）、B（23，2），

23?3∴tan∠APC=2，

∴∠APC=60°，

∵△APQ是等边三角形， ∴∠PAQ=60°， ∴∠ACB=∠PAQ， ∴AQ∥BP，

∴当C与P重合时，四边形ABPQ以AB为要的梯形，

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此时点P的横坐标为0；

∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：0或23．

233故答案为：（1），（2）0或23．

点评：此题考查了梯形的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是根据题意

画出符合要求的图形，然后利用数形结合思想求解．

115．（2012?鞍山）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=2，

则∠D的度数是 ．

15.30°

考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值． 专题：计算题．

分析：由圆周角定理、特殊角的三角函数值求得∠CAB=30°；然后根据直角三角形的两个锐角互余的性质、等腰三角形的性质、对顶角相等求得∠EOD=∠COB=60°；最后在直角三角形ODE中求得∠D的度数． 解答：解：∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；

1又∵sinA=2，

∴∠CAB=30°， ∴∠ABC=60°（直角三角形的两个锐角互余）； 又∵点O是AB的中点， ∴OC=OB，

∴∠OCB=OBC=60°， ∴∠COB=60°，

∴∠EOD=∠COB=60°（对顶角相等）； 又∵DE⊥AB， ∴∠D=90°-60°=30°． 故答案是：30°．

点评：本题综合考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值．解题时，注意“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一知识点的利用．

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三、解答题 16．（2012?荆门）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）

考点：垂径定理的应用；勾股定理；等腰梯形的性质；解直角三角形的应用．

分析：连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB，先根据垂径定理求出AF的值，再在在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB的度数，由勾股定理求出OF的长，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由S阴=S梯形ABCD-（S扇OAB-S△OAB）即可得出结论． 解答：解：如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB． ∵OA=OB=5m，AB=8m，

1∴AF=BF=2AB=4（m），∠AOB=2∠AOF， AF在Rt△AOF中，sin∠AOF=AO=0.8=sin53°，

∴∠AOF=53°，则∠AOB=106°，

22OA?AF∵OF==3（m），由题意得：MN=1m，

∴FN=OM-OF+MN=3（m），

∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB， ∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE．

AE3?DE2， 在Rt△ADE中，tan56°=

∴DE=2m，DC=12m．

11061∴S阴=S梯形ABCD-（S扇OAB-S△OAB）=2（8+12）×3-（360π×52-2×8×3）=20（m2）．

答：U型槽的横截面积约为20m2．

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点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理进行求解是解答此题的关键． 17．（2012?南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．

考点：垂径定理；勾股定理． 专题：探究型．

分析：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．

解答：解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD，

∵AB=30cm，CD=16cm，

1111∴AE=2AB=2×30=15cm，CF=2CD=2×16=8cm，

在Rt△AOE中，

OE=OA?AE?17?15=8cm， 在Rt△OCF中，

2222OC?CF?17?8OF==15cm，

2222∴EF=OF-OE=15-8=7cm．

答：AB和CD的距离为7cm．

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点评：本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 18．（2012?宁夏）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．

考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质．

分析：连接BD，根据平行线的性质可得：BD∥CF，则∠BDC=∠C，根据圆周角定理可得

11∠BDC= 2∠BOC，则∠C= 2∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．

解答：解：方法一：连接BD． ∵AB⊙O是直径， ∴BD⊥AD 又∵CF⊥AD， ∴BD∥CF， ∴∠BDC=∠C．

1又∵∠BDC=2∠BOC， 1∴∠C=2∠BOC．

∵AB⊥CD， ∴∠C=30°， ∴∠ADC=60°． 方法二：设∠D=x，

∵CF⊥AD，AB⊥CD，∠A=∠A， ∴△AFO∽△AED， ∴∠D=∠AOF=x，

∴∠ADC=2∠ADC=2x， ∴x+2x=180，

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