2013年中考数学专题复习 第23讲 圆的有关概念及性质精品导学案

第二十三讲 圆的有关概念及性质

【基础知识回顾】 圆的定义及性质： 圆的定义：

⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做 ⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合

【名师提醒：1、在一个圆中，圆←决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦，弦不一定是锥】 2、弦与弧：

弦：连接圆上任意两点的 叫做弦

弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类 3、圆的对称性：

⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是

【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 垂径定理及推论：

1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用

2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线

3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】 三、圆心角、弧、弦之间的关系：

1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角

2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别

【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 圆周角定理及其推论：

1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的

推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是

【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是

作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 圆内接四边形：

定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四边形的对角

【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】

1

考点一：垂径定理

例1 （2012?绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：

甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点， 2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形

乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点． 2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形． 对于甲、乙两人的作法，可判断（ ） A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误

C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确

考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 专题：计算题．

分析：由甲的思路画出相应的图形，连接OB，由BC为OD的垂直平分线，得到OE=DE，且BC与OD垂直，可得出OE为OD的一半，即为OB的一半，在直角三角形BOE中，根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°，得到∠OBE为30°，利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE为60°，再由∠BOE为三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形；

由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代换可得出三角形OBD三边相等，即为等边三角形，的长∠BOE=∠DBO=60°，由BC垂直平分OD，根据三线合一得到BE为角平分线，可得出∠OBE为30°，又∠BOE为三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形，进而得出两人的作法都正确． 解答：解：根据甲的思路，作出图形如下：

连接OB，

∵BC垂直平分OD，

∴E为OD的中点，且OD⊥BC，

2

1∴OE=DE=2OD，又OB=OD， 1在Rt△OBE中，OE=2OB，

∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°， ∴∠BOE=60°，

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA， 又∠BOE为△AOB的外角， ∴∠OAB=∠OBA=30°，

∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°， 同理∠C=60°， ∴∠BAC=60°，

∴∠ABC=∠BAC=∠C， ∴△ABC为等边三角形， 故甲作法正确；

根据乙的思路，作图如下：

连接OB，BD，

∵OD=BD，OD=OB， ∴OD=BD=OB，

∴△BOD为等边三角形， ∴∠OBD=∠BOD=60°，

又BC垂直平分OD，∴OM=DM， ∴BM为∠OBD的平分线， ∴∠OBM=∠DBM=30°，

又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角， ∴∠BAO=∠ABO=30°，

∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°， 同理∠ACB=60°， ∴∠BAC=60°，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC， ∴△ABC为等边三角形， 故乙作法正确， 故选A

点评：此题考查了垂径定理，等边三角形的判定，含30°直角三角形的判定，三角形的外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及判定是解本题的关键． 对应训练

3

1．（2012?哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=23，则⊙O的半径为（ ）

A．43 B．63 C．8

D．12

考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理． 专题：计算题．

分析：由∠B的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠AOC的度数，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形的内角和定理求出∠OAC=30°，又OP垂直于AC，得到三角形AOP为直角三角形，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据OP的长得出OA的长，即为圆O的半径．

解答：解：∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为AC，且∠B=60°， ∴∠AOC=2∠B=120°， 又OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°， ∵OP⊥AC， ∴∠AOP=90°，

在Rt△AOP中，OP=23，∠OAC=30°， ∴OA=2OP=43， 则圆O的半径43．

故选A

点评：此题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

考点二：圆周角定理

例2 （2012?青海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C

（1）求证：CB∥MD；

?2（2）若BC=4，sinM= 3，求⊙O的直径．

4

考点：圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．

?分析：（1）由∠C与∠M是 BD所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的

圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD； （2）首先连接AC，AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理

2??的即可求得BC= BD，继而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM= 3，即可求得⊙O的直径．

解答：（1）证明：∵∠C与∠M是BD所对的圆周角， ∴∠C=∠M， 又∵∠1=∠C， ∴∠1=∠M， ∴CB∥MD；

?

（2）解：连接AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 又∵CD⊥AB，

??∴BC= BD，

∴∠A=∠M， ∴sinA=sinM，

BC在Rt△ACB中，sinA=AB， 2∵sinM=3，BC=4，

5

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2013年中考数学专题复习 第23讲 圆的有关概念及性质精品导学案在线全文阅读。