湖北省黄冈中学2011-2012学年高一下学期期末考试数学文试题(2)

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PE?2CE．

（Ⅰ）证明：PC? EF；

（Ⅱ）证明?BED是二面角B?PC?D的平面角；

（Ⅲ）设二面角A?PB?C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．P

21．证明：

（Ⅰ）因为AC?22，PA?2,PE?2EC，

A E B F C D 故PC?23,EC?从而

23,FC?2， 3PCAC?6,?6． FCECPCAC 因为?,?FCE??PC，A所以?FCE∽

FCEC?PCA,?FEC??PAC?90?， 由此知PC?EF． ……5分

（Ⅱ）因为底面ABCD为菱形，所以BD?AC．又PA?底面ABCD，所以PC?BD． 由（Ⅰ）知PC?EF，所以PC与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直，所以

PC?平面BED．BE、ED在平面平面BED内，于是EB?PC，ED?PC，所

以?BED是二面角B?PC?D的平面角． …………9分 （Ⅲ）在平面PAB内过点A作AG?PB，G为垂足．

因为二面角A?PB?C为90?，所以平面PAB?平面PBC．

又平面PAB?平面PBC?PB．故AG?平面PBC,AG?BC．

所以BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直，故BC?平面PAB，

于是BC?AB，

所以底面ABCD为正方形，AD?2,PD?设D到平面PBC的距离为d．

因为AD//BC，且AD?平面PBC,BC?平面PBC，故AD//平面PBC,A、D 两点到平面PBC的距离相等，即d?AG?设PD与平面PBC所成的角为?，则sina?PA2?AD2?22． ………11分

2．

d1?． PD2所以PD与平面PBC所成的角为30?． …………14分

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