数值分析上机实验——解线性方程组

实 验 报 告

课程名称 数值分析 解线性方程组 上机 20111131 张振 理学楼407 预习部分 实验过程 表现 实验学时 学号 指导教师 实验时间 实验报告 部分 日期 4 2011113130 沈艳 2013.12.9 总成绩 实验项目名称 实验类型 班级 姓名 实验室名称 实验成绩 教师签字

哈尔滨工程大学教务处 制

实验四 解线性方程组

一．解线性方程组的基本思想 1．直接三角分解法：

将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U的乘积 ，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵。当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LU，且分解唯一。其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。 2．平方根法：

如果矩阵A为n阶对称正定矩阵，则存在一个对角元素为正数的下三角实矩阵L，使得：A=LL^T。当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的，称为平方根法（Cholesky）分解。 3．追赶法：

设系数矩阵为三对角矩阵

?b1??a2?0A?????0??0?c1b2a3?000?c2?b3??00?000?0000?an?an?1bn?10??0?0?? ??cn?1??bn??则方程组Ax=f称为三对角方程组。

设矩阵A非奇异，A有Crout分解A=LU，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵，记

?b1???2?0 L?????0??0?000?00??000??2?3?00?3???n?1??n0??0?0??,??0???n???1?10??01?2?001U???????000??000??????0??00?00??

???0?n?1???1??0可先依次求出L，U中的元素后，令Ux=y，先求解下三角方程组Ly=f得出y，再求解上三

角方程组Ux=y。

4．雅克比迭代法：

首先将方程组中的系数矩阵A分解成三部分，即：A = L+D+U，如图1所示，其中D为对角阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。

之后确定迭代格式，X(k?1) = BX(k) +f ，如图2所示，其中B称为迭代矩阵，雅克比迭代法中一般记为J。（k = 0,1，......）再选取初始迭代向量X(0)，开始逐次迭代。

5．超松弛迭代法（SOR）

它是在GS法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法。 选取分裂矩阵M为带参数的下三角矩阵

M＝

1（D－?L）， ?其中?＞0 为可选择的松弛因子，一般当1

1．(第五章习题8)用直接三角分解（杜利特尔（Doolittle）分解）求线性方程组

111x1 +x2 +x3= 9， 456111x1 +x2 +x3= 8，

4531x1 + x2 +2x3= 8 2的解。

2．(第五章习题9)用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中

?2?1000??1???????12?100??0?A=?0?12?10?，b=?0?. ?????00?12?1??0??000?12??0?????3．（第五章习题10）用改进的平方根法解线性方程组

?2?11??x1??4????????1?23x = ???2??5? ?1???6?31????x3???4．（第六章习题7）用SOR方法解线性方程组（分别取松弛因子ω=1.03，ω=1，

ω=1.1）

4x1 - x2 = 1， -x1 +4x2- x3= 4，

-x2 +4x3= -3.

11，1，-）T.要求当x*?x(k)?<5×10?6时迭代终止，并且对每22一个ω值确定迭代次数.

5.（第六章习题8）用SOR方法解线性方程组（取ω=0.9）

精确解x*=（

5x1 -2x2+ x3= -12， -x1 +4x2- 2x3= 20， 2x1 -3x2+10x3= 3.

要求当x(k?1)?x(k)?<10?4时迭代终止.

6．（第六章习题9）设有线性方程组Ax=b，其中A为对称正定阵，迭代公式

x(k?1)?x(k)+ω(b- Ax(k))，k=0，1，2…，

试证明当0<ω<

2时上述迭代法收敛（其中0

Hnx=(hij)?Rn?n, hij=

1，i，j=1，2，…，n.

i?j?1假设x*=（1，1，…，1）T?Rn，b= Hnx*.若取n=6，8，10，分别雅克比迭代法及SOR迭代（ω=1，1.25，1.5）求解.比较计算结果. 三．实验手段：

指操作环境和平台:win7系统下MATLAB R2009a

程序语言：一种类似C语言的程序语言，但比C语言要宽松得多，非常方便。 四.程序

1.

①直接三角分解（文件ZJsanjiao.m） function x=ZJsanjiao(A,b) [m,n]=size(A); [l u]=lu(A); s=inv(l)*[A,b]; x=ones(m,1);

for i=m:-1:1 h=s(i,m+1); for j=m:-1:1; if j~=i

h=h-x(j)*s(i,j); end end

x(i)=h/s(i,i); end

②控制台输入代码：

>> A=[1/4,1/5,1/6;1/3,1/4,1/5;1/2,1,2]; >> b=[9;8;8];

>> x=ZJsanjiao(A,b) 2.

①追赶法（文件ZG_SDJ.m） function x=ZG_SDJ(a,b,c,f) %aê????????a??

%bê???????é?·?μ??a??￡???êy±èaéùò??? %cê?????????·?μ??a??￡???êy±èaéùò??? %fê?3￡êy??b

N=length(a); b=[b,0]; c=[0,c];

a1=zeros(N,1); b1=zeros(N,1); y=zeros(N,1); x=zeros(N,1);

a1(1)=a(1);

b1(1)=b(1)/a1(1); y(1)=f(1)/a1(1); for j1=2:N

a1(j1)=a(j1)-c(j1)*b1(j1-1); b1(j1)=b(j1)/a1(j1);

temp1=f(j1)-c(j1)*y(j1-1); y(j1)=temp1/a1(j1); end j1=N;

x(j1)=y(j1); for j1=N-1:-1:1

x(j1)=y(j1)-b1(j1)*x(j1+1);

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