电磁学 第一章 习题答案(6)

对带负电荷的直线：

U?= —

?2??0?rQ?rrQ?dr? ??lnr?2??0r?利用迭加原理：

U?U??U?rQ?r????(ln?ln)2??0r?r?

=

rr?ln??? 2??0r??r?当参考点Q趋于无限远处时，r???r??

U?r?lnr? 2??0rr?

1．5．8 如图所示，电量q均匀分布在长为2L的细直 线上。

（1） 求空间任一点p(x,y)的电位U（0〈y<+?,-??x???), （2） 讨论：当p点在延长线上，距O为x外；当p点在直线中

垂直面上离中心O为y外的电位。

解：（1）在图中： r?(x?l)?y2 带电线元d l在p点 的电位；

2dU?qdl228??0L(x?l)?yqdl

整个带电线在p点的电位；

dU?8??0L?L?L(x?l)?y22

=

?q8??0Lqln[x?l?(x?l)2?y2]x?L?(x?L)2?y2x?L?(x?L)?y22?l?l

=

8??0Lln

（2） 当p点在其延长线上，距O为x[即p(x,0)]

外，

U?q8??0Llnx?L?(x?L)2x?L?(x?L)2

=

q8??0Llnx?L x?L当p点在直线中垂面上，离中心O为[即p(0,y)]处

U?q8??oLqlnL?L2?y2?L?L?y22

L?L2?y2ln= 4??0Ly1．5．9 如图所示，两个平行放置的均匀电圆环，它们 的半经为R，电量为q及-q，其中相距为l，并有l<

（1） 试求以两环的对称中心O为坐标原点，垂直于环面的x 轴上的电位

（2）证明：当x>>R时，U?ql4??0x2

解：（1）求在x轴上p点的电位：

?q带电圆环上电荷线密度???

2?R 带正电的圆环在p点的电位

U??2??R124??0(x?)2?R2?q14??0(x?)2?R22

同理，带负电的圆环在p点的电位，

U???q14??0(x?)2?R22

由迭加原理得：

U?U??U??q4??0[11(x?)2?R22?11(x?)2?R22]

当l<

qlx U?34??0(x2?R2)2（2） 当x>>R时，

qlxU??3ql4??0x2

4??0(x2?R2)21.5.10 求1.4.9题中，沿z轴上的电位分布。选无限远处为电位参考

点。

???lR2解：利用1.4.9题结论E??i 32?0(z2?R2)2积分求电位：

??????

U???zE?dl???z????lR?l?z?dz?1?31? 2?0?222222?2?0(z?R)?(z?R)??21?5?11 如图所示，在半径为R1和R2的两个同球心球面上，分别均匀带电，电量为Q1，Q2

（1） （2）

求

、Ⅲ区域内的电位分布

讨论：当Q2??Q1；

Q2??R2Q1 两种情况下Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中电位分布，并画出两种R1情况下U-r曲线 解：（1）利用高斯定理求出：

???

???E??0（r＜R）

1

E??????Q14??0r2r(R1＜r＜R2)

^^Q?Q2 E????14??0r2r(r＞R

???2)

电位分布：

??? U???=?

?rE????dl???rQ1?Q2Q1?Q2dr?(r≥R2) 24??0r4??0rU???Q1?Q2Q1Q1?Q2Q12??Rdr??R14??0r4??0r4??04??0r2?11?1?????rR?4??2?0??Q2Q1???R?r?? ?2? (R1≤r≤R2)

??? U???R2E????d? (r≤R1) (2)当Q2=-Q1时， U????0 U???Q14??0??????l??R2R1E???dl???R1??r???E1?dl????1?Q2Q1???? ?4??0?R2R1???11???r?R??

2??Q U?1?4??0 当Q2?? U U?11????RR??

2??1R2Q1时， R1?????Q1?R2?R1? 4??0R1r???Q14??0?11???r?R??

1?? U??0

在此两种情况下的U-r曲线如图

1.5.12 在上题中，保持内球上电量Q1不变，当外球电量Q2变化时，试讨论三个区域内的电位有没有变化？两球面之间的电位差有没有变化？

解；在上题中

U1=

14??0(1Q2Q1?)R2R1(

UⅡ=

4??0Q2Q1?) R2r1 UⅢ=

Q1?Q2 4??0r从上面结论可看出，当Q2变化时，三个区域的电位都变化。

两球面间电位差?U=

Q111(?)不随Q2的变化而变化。 4??0R1R21.5.13 求1.4.11题中O'O?，P，M各点的电位。 解 用1.4.11题解同样的“挖补法”求各点的电位。 先计算均匀带电球体在O?O'M，P各点的电位； UOM?R3?3?0r0M

?R2?2UOP=?(R2?rOP)

3?06?02?R2?rOP= ?3?06?0UOO??R2???(R2?r02O) 3?06?0?R2?r02O?= ?2?06?0?R2 UOO=2?0再计算均匀带电球体O?O'M，P各点的电位；

?r2 UO?M=

3?0ro?M?r2 UO?P=

3?0ro?PUO??O??r2= 3?0rO?O??r2=-2?0?ro?o 6?0UO?O利用迭加 原理得

UM?UOM?UO?M?R3r3?(?) 3?0r0Mro?m

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