电磁学 第一章 习题答案(4)

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????aa?xx??????r2?r2???(r2?r2)?i? 2??0????????????yy(2?2)j 2??0r?r? 其中：r?2?y2?(x?a)2 r?2?y2?(x?a)2

1.4.8 两无限大的平行平面均匀带电，面电荷密度都是?，求各处的场强分

布。 解：设

??0（对??0解题方法相同，只是图中E的方向不同），由

高斯定理可求得无限大均匀带电平板的场强的大小为： E?? 2?0 规定场强方向向右为正，向左为负。 E1???????? 2?02?0?0 E??????0 2?02?0 E?????? 2?02?0?0

1.4.9如图所示，两无限大平行的均匀带电平面，相距为L ，其面密度分别为??与?，以z为轴分别在两平面上挖去两个半径为的圆，且有l??R，试求，轴上一点的场强分布（子轴原点在

l处）. 2解：利用迭加原理，先求两个没有挖去圆的无限大带电平面在I（两平面的区域），?（两平面外的区域）区域内的场强，再减去两个圆产生的场强。

利用高斯定理求两带相反电荷的无限大平面产生的场强：

??在I区内：EI?k

?0在?区内：E??0

两个半径为R的带异号电荷的圆板在轴上产生的场强：

??在I区内：，?l??R，两带电圆板产生的场强：E??K

?0''1l在?区内：带正电荷的圆板在Z轴上一点(z?)产生

2????(1?的场强E?2?0z?12?)k

1R2?(z?)22带负电荷的圆板在z轴同一点产生的场强

??E???(1?2?0z?12? )k1R2?(z?)22????????k??0 ?I区的总场强：E?EI?EI?k?0?0

??????E?? ?区的总场强：E?E??E???(2?0z?12z???121R2?(z?)221R2?(z?)22? )k?l很小，用台劳级数将上式在l=0处展开，取前两项：

z?f(l)?12z??12

1R2?(z?)221R2?(z?)22f(0)=0

f?(0)?R2(R2?z2)32

??? ?f(0)?f?(0)l?k?E?2?0?=(0?2?0=

R2l(R2?z2)3232? )k?R2l2?0(R2?z2)? k1.1.10 如图所示，在半径为R，电荷体密度为?的均匀带电球体内O?点放一个

点电荷q。试求:O,P,N,M,点的场强（O?,O,P,N,M,在一条直线上）。

解：利用高斯定理分别求出均匀带电球体分别在O，P，N，M，点的场强为（其

中O为球心）： ?ERO?0

??r? ERN??ONr3?0??rop? ERP??r3?0?ERM??R33?0r02M? r点电荷q分别在O，N，P，M点产生的场强为

??Eqo?EqO?q4??0r02? rq? r4??0r2O?N?EqP??EqM?q? r24??0rO?Pq? r24??0rO?M利用迭加原理：

???EO?ERO?EqO?q? r24??0rO?O???EN?ERN?EqN?(?rONq??)r23?0 4??0rO?N????rq? EP?ERP?EqP?(OP?)r23?04??0rO?P??E??E??(EMRMqM?R33?0r2OM?q? )r24??0rO?M1．4．11 在半径为R，电荷体密度为?的均匀带电体内，挖去一个半径为r的小球，如图所示，试求：O, O?, P, M各点的场强。（O?,O,P,M在一直线上）。 解：将挖去的小球Q?用电荷体密度为?的球补起来。先求均匀带电球体O产生的场强，再求填补的带电球体Q?产生的场强，两者相减即是所要求的场强。 利用高斯定理求带电球体O分别在O,O?,P,M,产生的场强为：

?EOO?0

??r?方向如图所示，原点在O点） ?（rEO?O?oo?r3?0??r? EOP??OPr3?0?EOM???R33?0r2OM? r带电球体O?分别在各点产生的场强为：

??r? EO?O??oo?r3?0?EOO?0 ?EO?P???r33?0r2O?P? r?EO?M???r33?0r2O?M? r图中各点的场强分别为：

???r3?Ep?Eop?Eo?p?(?rop)r3?0ro?p2????rR3EM?EoM?Eo?M?(?)r

3?0ro?M2ro?M21.4.12 半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷的体密度?，求场强分布，

并画E----曲线。

解：分别过圆柱体内，外一点P0,P作如图（a）所示高斯面，由高斯定理可得：

???12 r?R时，EdS?2?rlE??.?l 内??内?0

?E内??r 2?0?1???r?R时：E.dS?2?rlE??外外?0??R2l

?R2 ?E外?2?0r场强的方向为径向 E---r曲线如图（b）。

1.4.13一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为R1和R2,筒面上都均匀带电。沿轴线单位长度的电量分别为?1和?2。（1）求各区域内的场强分布；（2）若?1???2，情况如何？并画出此情形的E---r曲线

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