电磁学 第一章 习题答案(3)

1．3．9一无限长带电圆柱面，其面电荷密度由下式所决定：???0cos?，

?角为与x轴间夹角，见附图，求圆柱轴线z上的场强。

解：设该圆柱面的截面半径为R，根据1。3。7题中L??时的结论：

无限长直带电线在空间一点产生的场强E??得出：带电圆柱面上宽度为d 2??0r(=Rd?)的无限长带电线在轴线一点产生的场强为：

?dE???????0cos?Rd?R? R2??0R2??0R???0cos???sin??(cos?ij)d? 2??0?2x?0cos???sin??∴E???(cos?ij)d?

02??0??

?0?i 2?0

1．4．1如图所求，匀强电场的场强E半径为R的半球面的轴线平行，试计算通过此半球面的电通量，若以半球面的边线为边，另作一个任意形状的曲面，此面的通量为多少？

解：S1的通量：如图设与场强垂直的圆平面为S0，S1和S0组成一个闭和

曲面，其包围电荷?q1?0,利用高斯定理得：

?????? ??E?dS???E?dS???E?dS

S0S1 ??0??S1?0 ∴ ?S1???S0

???S0???E?dS???R2E

∴ ?S1???S0??R2E 同理： ?S2???S0??R2E

1．4．2图中电场强度分别为Ex?bx,Ex?Ez?0，其中b=800（牛顿/库仑）。试求：

（1）通过正立方体的电通量；

（2）正立方体内的总电荷是多少？设a?10（厘米）。 解：（1）通过立方体的左侧面的电通量：

?左??ExS??ba

通过立方体的右侧面的电通量：?右?ExS?2ba 其余各面的电通量为零。 ∴ 通过正立方体的电通量：

521252???左??右1??ba?2ba ?(2?1)ba?(2?1)?800?(10) ?(2?1)?800?(10)

?52525?125253

?(2?1)?800?10

?52) 库（2）根据高斯定理得： ??????E?ds?2?1.05(牛顿?米?q

?0??q??0??8.85?10?12?1.05?9.92?10?12(库仑) 1.4.3

求线电荷密度为?的无限长均匀带电直线在空间任意一点产生的场强。

解：根据对称性分析，无限长均匀带电直线在空间任意一点产生的场强与棒垂直，呈辐射状。如图所示以带电直线为轴过p点作一封闭的圆柱面。长度L是任意的。 由高斯定理：

??E?ds?侧面??Ecos?ds??2上底??Ecos?ds?下底??Ecos?ds??L ?0上下底面上??

?cos??0

侧面上场强夹角??0

?cos??1

?????E?ds??E?侧面??Ecos?ds?Ecos?ds?E?2?rL??L ?0? 2??0r求面电荷密度为?的无限长均匀带电圆柱面的场强分布，并画出E?r曲线。

解：设带电圆柱面的半径为R，根据对称性分析，在以圆柱的轴线为轴的任意一圆柱面上场强大小相等，而且场强方向垂直于圆柱面。在柱面内，过任一，以z为轴作一封闭圆柱面为高斯面，其半径为r，（r?R），长为L，如图所示。由高斯定理：

????E内?dS???E内cos?dS???E内cos?dS???E内cos?dS?0 1.4.4

侧面上底下底2侧面与场强夹角??0 cos??1

??? ??E内?dS???E内cos?dS?0

侧面上下底与场强夹角??? cos??0

?E内?0

在柱面外，同理过任一点p作半径（r>R 定理：

???E外?dS???E外cos?dS?侧）的封闭圆柱体形高斯面。由高斯

cos?dS

上底??E外cos?dS?下底??E外??E外dS?2?rLE外=

?E外?2?L??0

?Rr?0

1.4.5 在一厚度为d 的无限大的平板层内电荷均匀分布，起体密度??0，求 在平板层，外的电场强度。

解：如图（a）所示的是平板的俯视图，OO’是与板面平行的对称面，根据对称性分析，

在对称面两侧等距离x出的场强大小相等，方向垂直该对称面指向两侧。在板内过任一点?0，被对称面平分的封闭圆柱面为高斯面，其底面积为?S，底面与对称面的距离为x:

由高斯面定理：

??E?dS???侧Ecos?dS?2??柱面Ecos?dS

=2E?S?2??Sx/?0 ?E?

?x?x 即E内? ?0?0d?S??E?dS=2??S=

????0

?d?d ?外?? 2?02?0E—x的分布曲线如图（b）

1.4.6 一 半径为 R的 带电球，起体电荷密度

r ???0(1?)，?0为一常数，r为空间某带至球心的距离。

R 试求：（1）球内，外的强度分布。

（2） 为多大时，场强最大，该点的?max??

r)，?与r 是线性关系。在球内 ?0做一个半R径为r的与带电球同心的 球面斯面如图，根据对称性分析，此球面上

解：（1）????0(1?的场强大小相等，方向与 r 的一致。 由高斯面定理：????dS?q?0

??E?dS?4?rq???(1?00r2E内r2)4?rdrRrR??0?r(?)3243?4?rE内?00??r430?0r(?)3R

?r?E?3?内(1?3r)(r,?R)4R当r?R时，即在球外过任一点p仍作球形高斯面。由高斯定理得：??E外?ds?4?rR2E外

q??r?(1?0r133)4?rdr???R

0R3

4?r21?E外3??R03

?R?E?12?r0外032

(2)d?3r?(1?)?0 E内dr3?02R2R 3?r?r越大，强无极值。 E外单调减小，因而球外场1.4 如图所示，两条平行的无线长均匀带电直线，相距为2a，电荷线

密度分别为+a，求这两条直线在空间任一点的场强。

解：利用高斯定理分别求出两条均匀带电直线在点p的电场强度：

EE?? r?2??r0?????2??0r?r????

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